MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Unicode version

Theorem modom 7301
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 df-mo 2285 . 2  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
2 imor 402 . 2  |-  ( ( E. x ph  ->  E! x ph )  <->  ( -.  E. x ph  \/  E! x ph ) )
3 abn0 3638 . . . . . 6  |-  ( { x  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x ph )
43necon1bbii 2650 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
5 sdom1 7300 . . . . 5  |-  ( { x  |  ph }  ~<  1o  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
64, 5bitr4i 244 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  ~<  1o )
7 euen1 7169 . . . 4  |-  ( E! x ph  <->  { x  |  ph }  ~~  1o )
86, 7orbi12i 508 . . 3  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  ( { x  |  ph }  ~<  1o  \/  {
x  |  ph }  ~~  1o ) )
9 brdom2 7129 . . 3  |-  ( { x  |  ph }  ~<_  1o 
<->  ( { x  | 
ph }  ~<  1o  \/  { x  |  ph }  ~~  1o ) )
108, 9bitr4i 244 . 2  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
111, 2, 103bitri 263 1  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358   E.wex 1550    = wceq 1652   E!weu 2280   E*wmo 2281   {cab 2421   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   1oc1o 6709    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100
This theorem is referenced by:  modom2  7302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104
  Copyright terms: Public domain W3C validator