MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Unicode version

Theorem modom 7247
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 df-mo 2245 . 2  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
2 imor 402 . 2  |-  ( ( E. x ph  ->  E! x ph )  <->  ( -.  E. x ph  \/  E! x ph ) )
3 abn0 3591 . . . . . 6  |-  ( { x  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x ph )
43necon1bbii 2604 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
5 sdom1 7246 . . . . 5  |-  ( { x  |  ph }  ~<  1o  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
64, 5bitr4i 244 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  ~<  1o )
7 euen1 7115 . . . 4  |-  ( E! x ph  <->  { x  |  ph }  ~~  1o )
86, 7orbi12i 508 . . 3  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  ( { x  |  ph }  ~<  1o  \/  {
x  |  ph }  ~~  1o ) )
9 brdom2 7075 . . 3  |-  ( { x  |  ph }  ~<_  1o 
<->  ( { x  | 
ph }  ~<  1o  \/  { x  |  ph }  ~~  1o ) )
108, 9bitr4i 244 . 2  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
111, 2, 103bitri 263 1  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358   E.wex 1547    = wceq 1649   E!weu 2240   E*wmo 2241   {cab 2375   (/)c0 3573   class class class wbr 4155   1oc1o 6655    ~~ cen 7044    ~<_ cdom 7045    ~< csdm 7046
This theorem is referenced by:  modom2  7248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-1o 6662  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050
  Copyright terms: Public domain W3C validator