MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Unicode version

Theorem modsubi 13087
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1  |-  N  e.  NN
modsubi.2  |-  A  e.  NN
modsubi.3  |-  B  e. 
NN0
modsubi.4  |-  M  e. 
NN0
modsubi.6  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modsubi.5  |-  ( M  +  B )  =  K
Assertion
Ref Expression
modsubi  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5  |-  A  e.  NN
21nnrei 9755 . . . 4  |-  A  e.  RR
3 modsubi.5 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  =  K
4 modsubi.4 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
5 modsubi.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
64, 5nn0addcli 10001 . . . . . 6  |-  ( M  +  B )  e. 
NN0
76nn0rei 9976 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  e.  RR
83, 7eqeltrri 2354 . . . 4  |-  K  e.  RR
92, 8pm3.2i 441 . . 3  |-  ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )
105nn0rei 9976 . . . . 5  |-  B  e.  RR
1110renegcli 9108 . . . 4  |-  -u B  e.  RR
12 modsubi.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
13 nnrp 10363 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  N  e.  RR+
1511, 14pm3.2i 441 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
16 modsubi.6 . . 3  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
17 modadd1 11001 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
) )  ->  (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )
)
189, 15, 16, 17mp3an 1277 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( K  +  -u B )  mod 
N )
191nncni 9756 . . . 4  |-  A  e.  CC
205nn0cni 9977 . . . 4  |-  B  e.  CC
2119, 20negsubi 9124 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
)
2221oveq1i 5868 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( A  -  B )  mod 
N )
238recni 8849 . . . . 5  |-  K  e.  CC
2423, 20negsubi 9124 . . . 4  |-  ( K  +  -u B )  =  ( K  -  B
)
254nn0cni 9977 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
2623, 20, 25subadd2i 9134 . . . . 5  |-  ( ( K  -  B )  =  M  <->  ( M  +  B )  =  K )
273, 26mpbir 200 . . . 4  |-  ( K  -  B )  =  M
2824, 27eqtri 2303 . . 3  |-  ( K  +  -u B )  =  M
2928oveq1i 5868 . 2  |-  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )  =  ( M  mod  N )
3018, 22, 293eqtr3i 2311 1  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   NN0cn0 9965   RR+crp 10354    mod cmo 10973
This theorem is referenced by:  1259lem5  13133  2503lem3  13137  4001lem4  13142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974
  Copyright terms: Public domain W3C validator