MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Unicode version

Theorem modsubi 13103
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1  |-  N  e.  NN
modsubi.2  |-  A  e.  NN
modsubi.3  |-  B  e. 
NN0
modsubi.4  |-  M  e. 
NN0
modsubi.6  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modsubi.5  |-  ( M  +  B )  =  K
Assertion
Ref Expression
modsubi  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5  |-  A  e.  NN
21nnrei 9771 . . . 4  |-  A  e.  RR
3 modsubi.5 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  =  K
4 modsubi.4 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
5 modsubi.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
64, 5nn0addcli 10017 . . . . . 6  |-  ( M  +  B )  e. 
NN0
76nn0rei 9992 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  e.  RR
83, 7eqeltrri 2367 . . . 4  |-  K  e.  RR
92, 8pm3.2i 441 . . 3  |-  ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )
105nn0rei 9992 . . . . 5  |-  B  e.  RR
1110renegcli 9124 . . . 4  |-  -u B  e.  RR
12 modsubi.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
13 nnrp 10379 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  N  e.  RR+
1511, 14pm3.2i 441 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
16 modsubi.6 . . 3  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
17 modadd1 11017 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
) )  ->  (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )
)
189, 15, 16, 17mp3an 1277 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( K  +  -u B )  mod 
N )
191nncni 9772 . . . 4  |-  A  e.  CC
205nn0cni 9993 . . . 4  |-  B  e.  CC
2119, 20negsubi 9140 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
)
2221oveq1i 5884 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( A  -  B )  mod 
N )
238recni 8865 . . . . 5  |-  K  e.  CC
2423, 20negsubi 9140 . . . 4  |-  ( K  +  -u B )  =  ( K  -  B
)
254nn0cni 9993 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
2623, 20, 25subadd2i 9150 . . . . 5  |-  ( ( K  -  B )  =  M  <->  ( M  +  B )  =  K )
273, 26mpbir 200 . . . 4  |-  ( K  -  B )  =  M
2824, 27eqtri 2316 . . 3  |-  ( K  +  -u B )  =  M
2928oveq1i 5884 . 2  |-  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )  =  ( M  mod  N )
3018, 22, 293eqtr3i 2324 1  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   RRcr 8752    + caddc 8756    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   NN0cn0 9981   RR+crp 10370    mod cmo 10989
This theorem is referenced by:  1259lem5  13149  2503lem3  13153  4001lem4  13158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990
  Copyright terms: Public domain W3C validator