MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Unicode version

Theorem modsubi 13408
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1  |-  N  e.  NN
modsubi.2  |-  A  e.  NN
modsubi.3  |-  B  e. 
NN0
modsubi.4  |-  M  e. 
NN0
modsubi.6  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modsubi.5  |-  ( M  +  B )  =  K
Assertion
Ref Expression
modsubi  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5  |-  A  e.  NN
21nnrei 10009 . . . 4  |-  A  e.  RR
3 modsubi.5 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  =  K
4 modsubi.4 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
5 modsubi.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
64, 5nn0addcli 10257 . . . . . 6  |-  ( M  +  B )  e. 
NN0
76nn0rei 10232 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  e.  RR
83, 7eqeltrri 2507 . . . 4  |-  K  e.  RR
92, 8pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )
105nn0rei 10232 . . . . 5  |-  B  e.  RR
1110renegcli 9362 . . . 4  |-  -u B  e.  RR
12 modsubi.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
13 nnrp 10621 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1412, 13ax-mp 8 . . . 4  |-  N  e.  RR+
1511, 14pm3.2i 442 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
16 modsubi.6 . . 3  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
17 modadd1 11278 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
) )  ->  (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )
)
189, 15, 16, 17mp3an 1279 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( K  +  -u B )  mod 
N )
191nncni 10010 . . . 4  |-  A  e.  CC
205nn0cni 10233 . . . 4  |-  B  e.  CC
2119, 20negsubi 9378 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
)
2221oveq1i 6091 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( A  -  B )  mod 
N )
238recni 9102 . . . . 5  |-  K  e.  CC
2423, 20negsubi 9378 . . . 4  |-  ( K  +  -u B )  =  ( K  -  B
)
254nn0cni 10233 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
2623, 20, 25subadd2i 9388 . . . . 5  |-  ( ( K  -  B )  =  M  <->  ( M  +  B )  =  K )
273, 26mpbir 201 . . . 4  |-  ( K  -  B )  =  M
2824, 27eqtri 2456 . . 3  |-  ( K  +  -u B )  =  M
2928oveq1i 6091 . 2  |-  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )  =  ( M  mod  N )
3018, 22, 293eqtr3i 2464 1  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   RRcr 8989    + caddc 8993    - cmin 9291   -ucneg 9292   NNcn 10000   NN0cn0 10221   RR+crp 10612    mod cmo 11250
This theorem is referenced by:  1259lem5  13454  2503lem3  13458  4001lem4  13463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251
  Copyright terms: Public domain W3C validator