MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Structured version   Unicode version

Theorem modxai 13404
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
modxai.7  |-  C  e. 
NN0
modxai.8  |-  L  e. 
NN0
modxai.11  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modxai.12  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
modxai.9  |-  ( B  +  C )  =  E
modxai.10  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
Assertion
Ref Expression
modxai  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5  |-  ( B  +  C )  =  E
21oveq2i 6092 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( A ^ E
)
3 modxai.2 . . . . . 6  |-  A  e.  NN
43nncni 10010 . . . . 5  |-  A  e.  CC
5 modxai.3 . . . . 5  |-  B  e. 
NN0
6 modxai.7 . . . . 5  |-  C  e. 
NN0
7 expadd 11422 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) ) )
84, 5, 6, 7mp3an 1279 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
92, 8eqtr3i 2458 . . 3  |-  ( A ^ E )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
109oveq1i 6091 . 2  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)
11 nnexpcl 11394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A ^ B
)  e.  NN )
123, 5, 11mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ B )  e.  NN
1312nnzi 10305 . . . . . . 7  |-  ( A ^ B )  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( A ^ B
)  e.  ZZ )
15 modxai.5 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
NN0
1615nn0zi 10306 . . . . . . 7  |-  K  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  K  e.  ZZ )
18 nnexpcl 11394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A ^ C
)  e.  NN )
193, 6, 18mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ C )  e.  NN
2019nnzi 10305 . . . . . . 7  |-  ( A ^ C )  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( A ^ C
)  e.  ZZ )
22 modxai.8 . . . . . . . 8  |-  L  e. 
NN0
2322nn0zi 10306 . . . . . . 7  |-  L  e.  ZZ
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  L  e.  ZZ )
25 modxai.1 . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
26 nnrp 10621 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  N  e.  RR+
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  N  e.  RR+ )
29 modxai.11 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( A ^ B )  mod  N
)  =  ( K  mod  N ) )
31 modxai.12 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( A ^ C )  mod  N
)  =  ( L  mod  N ) )
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 11280 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)  =  ( ( K  x.  L )  mod  N ) )
3433trud 1332 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( K  x.  L )  mod  N
)
35 modxai.10 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9  |-  D  e.  ZZ
37 zcn 10287 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  D  e.  CC
3925nncni 10010 . . . . . . . 8  |-  N  e.  CC
4038, 39mulcli 9095 . . . . . . 7  |-  ( D  x.  N )  e.  CC
41 modxai.6 . . . . . . . 8  |-  M  e. 
NN0
4241nn0cni 10233 . . . . . . 7  |-  M  e.  CC
4340, 42addcomi 9257 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4435, 43eqtr3i 2458 . . . . 5  |-  ( K  x.  L )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4544oveq1i 6091 . . . 4  |-  ( ( K  x.  L )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4634, 45eqtri 2456 . . 3  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4741nn0rei 10232 . . . 4  |-  M  e.  RR
48 modcyc 11276 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N ) )
4947, 27, 36, 48mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5046, 49eqtri 2456 . 2  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5110, 50eqtri 2456 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    + caddc 8993    x. cmul 8995   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   RR+crp 10612    mod cmo 11250   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  mod2xi  13405  modxp1i  13406  1259lem3  13452  1259lem4  13453  2503lem2  13457  4001lem3  13462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383
  Copyright terms: Public domain W3C validator