MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Unicode version

Theorem modxai 13083
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
modxai.7  |-  C  e. 
NN0
modxai.8  |-  L  e. 
NN0
modxai.11  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modxai.12  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
modxai.9  |-  ( B  +  C )  =  E
modxai.10  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
Assertion
Ref Expression
modxai  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5  |-  ( B  +  C )  =  E
21oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( A ^ E
)
3 modxai.2 . . . . . 6  |-  A  e.  NN
43nncni 9756 . . . . 5  |-  A  e.  CC
5 modxai.3 . . . . 5  |-  B  e. 
NN0
6 modxai.7 . . . . 5  |-  C  e. 
NN0
7 expadd 11144 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) ) )
84, 5, 6, 7mp3an 1277 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
92, 8eqtr3i 2305 . . 3  |-  ( A ^ E )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
109oveq1i 5868 . 2  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)
11 nnexpcl 11116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A ^ B
)  e.  NN )
123, 5, 11mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ B )  e.  NN
1312nnzi 10047 . . . . . . 7  |-  ( A ^ B )  e.  ZZ
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( A ^ B
)  e.  ZZ )
15 modxai.5 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
NN0
1615nn0zi 10048 . . . . . . 7  |-  K  e.  ZZ
1716a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  K  e.  ZZ )
18 nnexpcl 11116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A ^ C
)  e.  NN )
193, 6, 18mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ C )  e.  NN
2019nnzi 10047 . . . . . . 7  |-  ( A ^ C )  e.  ZZ
2120a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( A ^ C
)  e.  ZZ )
22 modxai.8 . . . . . . . 8  |-  L  e. 
NN0
2322nn0zi 10048 . . . . . . 7  |-  L  e.  ZZ
2423a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  L  e.  ZZ )
25 modxai.1 . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
26 nnrp 10363 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  N  e.  RR+
2827a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  N  e.  RR+ )
29 modxai.11 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
3029a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( A ^ B )  mod  N
)  =  ( K  mod  N ) )
31 modxai.12 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( A ^ C )  mod  N
)  =  ( L  mod  N ) )
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 11003 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)  =  ( ( K  x.  L )  mod  N ) )
3433trud 1314 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( K  x.  L )  mod  N
)
35 modxai.10 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9  |-  D  e.  ZZ
37 zcn 10029 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  D  e.  CC
3925nncni 9756 . . . . . . . 8  |-  N  e.  CC
4038, 39mulcli 8842 . . . . . . 7  |-  ( D  x.  N )  e.  CC
41 modxai.6 . . . . . . . 8  |-  M  e. 
NN0
4241nn0cni 9977 . . . . . . 7  |-  M  e.  CC
4340, 42addcomi 9003 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4435, 43eqtr3i 2305 . . . . 5  |-  ( K  x.  L )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4544oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( ( K  x.  L )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4634, 45eqtri 2303 . . 3  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4741nn0rei 9976 . . . 4  |-  M  e.  RR
48 modcyc 10999 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N ) )
4947, 27, 36, 48mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5046, 49eqtri 2303 . 2  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5110, 50eqtri 2303 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354    mod cmo 10973   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  mod2xi  13084  modxp1i  13085  1259lem3  13131  1259lem4  13132  2503lem2  13136  4001lem3  13141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator