Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1pid Unicode version

Theorem mon1pid 27627
 Description: Monicity and degree of the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1pid.p Poly1
mon1pid.o
mon1pid.m Monic1p
mon1pid.d deg1
Assertion
Ref Expression
mon1pid NzRing

Proof of Theorem mon1pid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1pid.p . . . . 5 Poly1
21ply1nz 19523 . . . 4 NzRing NzRing
3 nzrrng 16029 . . . 4 NzRing
4 eqid 2296 . . . . 5
5 mon1pid.o . . . . 5
64, 5rngidcl 15377 . . . 4
72, 3, 63syl 18 . . 3 NzRing
8 eqid 2296 . . . . 5
95, 8nzrnz 16028 . . . 4 NzRing
102, 9syl 15 . . 3 NzRing
11 nzrrng 16029 . . . . . . . 8 NzRing
12 eqid 2296 . . . . . . . . 9 algSc algSc
13 eqid 2296 . . . . . . . . 9
141, 12, 13, 5ply1scl1 16383 . . . . . . . 8 algSc
1511, 14syl 15 . . . . . . 7 NzRing algSc
1615fveq2d 5545 . . . . . 6 NzRing coe1algSc coe1
17 eqid 2296 . . . . . . . . 9
1817, 13rngidcl 15377 . . . . . . . 8
1911, 18syl 15 . . . . . . 7 NzRing
20 eqid 2296 . . . . . . . 8
211, 12, 17, 20coe1scl 16378 . . . . . . 7 coe1algSc
2211, 19, 21syl2anc 642 . . . . . 6 NzRing coe1algSc
2316, 22eqtr3d 2330 . . . . 5 NzRing coe1
2415fveq2d 5545 . . . . . 6 NzRing algSc
2513, 20nzrnz 16028 . . . . . . 7 NzRing
26 mon1pid.d . . . . . . . 8 deg1
2726, 1, 17, 12, 20deg1scl 19515 . . . . . . 7 algSc
2811, 19, 25, 27syl3anc 1182 . . . . . 6 NzRing algSc
2924, 28eqtr3d 2330 . . . . 5 NzRing
3023, 29fveq12d 5547 . . . 4 NzRing coe1
31 0nn0 9996 . . . . 5
32 iftrue 3584 . . . . . 6
33 eqid 2296 . . . . . 6
34 fvex 5555 . . . . . 6
3532, 33, 34fvmpt 5618 . . . . 5
3631, 35ax-mp 8 . . . 4
3730, 36syl6eq 2344 . . 3 NzRing coe1
38 mon1pid.m . . . 4 Monic1p
391, 4, 8, 26, 38, 13ismon1p 19544 . . 3 coe1
407, 10, 37, 39syl3anbrc 1136 . 2 NzRing
4140, 29jca 518 1 NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cif 3578   cmpt 4093  cfv 5271  cc0 8753  cn0 9981  cbs 13164  c0g 13416  crg 15353  cur 15355  NzRingcnzr 16025  algSccascl 16068  Poly1cpl1 16268  coe1cco1 16271   deg1 cdg1 19456  Monic1pcmn1 19527 This theorem is referenced by:  mon1psubm  27628  deg1mhm  27629 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-nzr 16026  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-vr1 16274  df-ply1 16275  df-coe1 16278  df-cnfld 16394  df-mdeg 19457  df-deg1 19458  df-mon1 19532
 Copyright terms: Public domain W3C validator