Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1psubm Structured version   Unicode version

Theorem mon1psubm 27502
 Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1psubm.p Poly1
mon1psubm.m Monic1p
mon1psubm.u mulGrp
Assertion
Ref Expression
mon1psubm NzRing SubMnd

Proof of Theorem mon1psubm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1psubm.p . . . . 5 Poly1
2 eqid 2436 . . . . 5
3 mon1psubm.m . . . . 5 Monic1p
41, 2, 3mon1pcl 20067 . . . 4
54ssriv 3352 . . 3
65a1i 11 . 2 NzRing
7 eqid 2436 . . . 4
8 eqid 2436 . . . 4 deg1 deg1
91, 7, 3, 8mon1pid 27501 . . 3 NzRing deg1
109simpld 446 . 2 NzRing
111ply1nz 20044 . . . . . . 7 NzRing NzRing
12 nzrrng 16332 . . . . . . 7 NzRing
1311, 12syl 16 . . . . . 6 NzRing
1413adantr 452 . . . . 5 NzRing
154ad2antrl 709 . . . . 5 NzRing
16 simprr 734 . . . . . 6 NzRing
175, 16sseldi 3346 . . . . 5 NzRing
18 eqid 2436 . . . . . 6
192, 18rngcl 15677 . . . . 5
2014, 15, 17, 19syl3anc 1184 . . . 4 NzRing
21 eqid 2436 . . . . . . 7 RLReg RLReg
22 eqid 2436 . . . . . . 7
23 nzrrng 16332 . . . . . . . 8 NzRing
2423adantr 452 . . . . . . 7 NzRing
251, 22, 3mon1pn0 20069 . . . . . . . 8
2625ad2antrl 709 . . . . . . 7 NzRing
27 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
288, 27, 3mon1pldg 20072 . . . . . . . . 9 coe1 deg1
2928ad2antrl 709 . . . . . . . 8 NzRing coe1 deg1
30 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 Unit Unit
3121, 30unitrrg 16353 . . . . . . . . . . 11 Unit RLReg
3223, 31syl 16 . . . . . . . . . 10 NzRing Unit RLReg
3330, 271unit 15763 . . . . . . . . . . 11 Unit
3423, 33syl 16 . . . . . . . . . 10 NzRing Unit
3532, 34sseldd 3349 . . . . . . . . 9 NzRing RLReg
3635adantr 452 . . . . . . . 8 NzRing RLReg
3729, 36eqeltrd 2510 . . . . . . 7 NzRing coe1 deg1 RLReg
381, 22, 3mon1pn0 20069 . . . . . . . 8
3938ad2antll 710 . . . . . . 7 NzRing
408, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39deg1mul2 20037 . . . . . 6 NzRing deg1 deg1 deg1
418, 1, 22, 2deg1nn0cl 20011 . . . . . . . 8 deg1
4224, 15, 26, 41syl3anc 1184 . . . . . . 7 NzRing deg1
438, 1, 22, 2deg1nn0cl 20011 . . . . . . . 8 deg1
4424, 17, 39, 43syl3anc 1184 . . . . . . 7 NzRing deg1
4542, 44nn0addcld 10278 . . . . . 6 NzRing deg1 deg1
4640, 45eqeltrd 2510 . . . . 5 NzRing deg1
478, 1, 22, 2deg1nn0clb 20013 . . . . . 6 deg1
4824, 20, 47syl2anc 643 . . . . 5 NzRing deg1
4946, 48mpbird 224 . . . 4 NzRing
5040fveq2d 5732 . . . . 5 NzRing coe1 deg1 coe1 deg1 deg1
51 eqid 2436 . . . . . . 7
521, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39coe1mul4 20023 . . . . . 6 NzRing coe1 deg1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1
538, 27, 3mon1pldg 20072 . . . . . . . . 9 coe1 deg1
5453ad2antll 710 . . . . . . . 8 NzRing coe1 deg1
5529, 54oveq12d 6099 . . . . . . 7 NzRing coe1 deg1 coe1 deg1
56 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
5756, 27rngidcl 15684 . . . . . . . . . 10
5823, 57syl 16 . . . . . . . . 9 NzRing
5956, 51, 27rnglidm 15687 . . . . . . . . 9
6023, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8 NzRing
6160adantr 452 . . . . . . 7 NzRing
6255, 61eqtrd 2468 . . . . . 6 NzRing coe1 deg1 coe1 deg1
6352, 62eqtrd 2468 . . . . 5 NzRing coe1 deg1 deg1
6450, 63eqtrd 2468 . . . 4 NzRing coe1 deg1
651, 2, 22, 8, 3, 27ismon1p 20065 . . . 4 coe1 deg1
6620, 49, 64, 65syl3anbrc 1138 . . 3 NzRing
6766ralrimivva 2798 . 2 NzRing
68 mon1psubm.u . . . . 5 mulGrp
6968rngmgp 15670 . . . 4
7013, 69syl 16 . . 3 NzRing
7168, 2mgpbas 15654 . . . 4
7268, 7rngidval 15666 . . . 4
7368, 18mgpplusg 15652 . . . 4
7471, 72, 73issubm 14748 . . 3 SubMnd
7570, 74syl 16 . 2 NzRing SubMnd
766, 10, 67, 75mpbir3and 1137 1 NzRing SubMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705   wss 3320  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc0 8990   caddc 8993  cn0 10221  cbs 13469  cmulr 13530  c0g 13723  cmnd 14684  SubMndcsubmnd 14737  mulGrpcmgp 15648  crg 15660  cur 15662  Unitcui 15744  NzRingcnzr 16328  RLRegcrlreg 16339  Poly1cpl1 16571  coe1cco1 16574   deg1 cdg1 19977  Monic1pcmn1 20048 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-vr1 16577  df-ply1 16578  df-coe1 16581  df-cnfld 16704  df-mdeg 19978  df-deg1 19979  df-mon1 20053
 Copyright terms: Public domain W3C validator