MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monhom Unicode version

Theorem monhom 13654
Description: A monomorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
ismon.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
ismon.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
ismon.s  |-  M  =  (Mono `  C )
ismon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
ismon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ismon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
monhom  |-  ( ph  ->  ( X M Y )  C_  ( X H Y ) )

Proof of Theorem monhom
Dummy variables  f 
g  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ismon.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 ismon.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 ismon.s . . . 4  |-  M  =  (Mono `  C )
5 ismon.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 ismon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 ismon.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 13652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( X M Y )  <-> 
( f  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( f ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) ) ) )
9 simpl 443 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( f ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) )  ->  f  e.  ( X H Y ) )
108, 9syl6bi 219 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( X M Y )  ->  f  e.  ( X H Y ) ) )
1110ssrdv 3198 1  |-  ( ph  ->  ( X M Y )  C_  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   <.cop 3656    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   Fun wfun 5265   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582  Monocmon 13647
This theorem is referenced by:  setcmon  13935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-mon 13649
  Copyright terms: Public domain W3C validator