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Theorem monoord 11316
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
monoord.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoord.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
monoord  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  <_  ( F `  N ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoord
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11029 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
65breq2d 4192 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) )
74, 6imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) ) )
87imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) ) ) )
9 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
10 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( F `  x )  =  ( F `  n ) )
1110breq2d 4192 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) )
129, 11imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) ) )
1312imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) ) ) )
14 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
15 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
1615breq2d 4192 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
1714, 16imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
19 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
20 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) )
2120breq2d 4192 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) )
2219, 21imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) ) )
2322imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) ) ) )
24 eluzfz1 11028 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
251, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
26 monoord.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2726ralrimiva 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR )
28 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
2928eleq1d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  M )  e.  RR ) )
3029rspcv 3016 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  M )  e.  RR ) )
3125, 27, 30sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
3231leidd 9557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  <_  ( F `  M ) )
3332a1d 23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) ) )
35 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
36 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
37 peano2fzr 11033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3938expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
4039imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( F `  M
)  <_  ( F `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) ) )
41 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
4235, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
43 elfzuz3 11020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
4436, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
45 eluzp1m1 10473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
4642, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
47 elfzuzb 11017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
4835, 46, 47sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
49 monoord.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
5049ralrimiva 2757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
52 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
53 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
5453fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5552, 54breq12d 4193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5655rspcv 3016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
5748, 51, 56sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5831adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
5927adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR )
6052eleq1d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
6160rspcv 3016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  n )  e.  RR ) )
6238, 59, 61sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
63 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
6463eleq1d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
6564rspcv 3016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
6636, 59, 65sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
67 letr 9131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  ( F `  n )  e.  RR  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 M )  <_ 
( F `  n
)  /\  ( F `  n )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6858, 62, 66, 67syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (
( F `  M
)  <_  ( F `  n )  /\  ( F `  n )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
6957, 68mpan2d 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( F `  M )  <_  ( F `  n
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7069expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  n )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7170a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( F `  M
)  <_  ( F `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7240, 71syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( F `  M
)  <_  ( F `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7372expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
7473a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
758, 13, 18, 23, 34, 74uzind4 10498 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) ) )
761, 75mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) )
773, 76mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  <_  ( F `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   1c1 8955    + caddc 8957    <_ cle 9085    - cmin 9255   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007
This theorem is referenced by:  monoord2  11317  sermono  11318  climub  12418  isercolllem1  12421  climsup  12426  dvfsumlem3  19873  emcllem7  20801  lmdvg  24299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008
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