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Theorem monoord2 11281
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
monoord2.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoord2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
Assertion
Ref Expression
monoord2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( F `  M ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoord2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 monoord2.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
32renegcld 9396 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  -u ( F `
 k )  e.  RR )
4 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
)  =  ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
)
53, 4fmptd 5832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) : ( M ... N
) --> RR )
65ffvelrnda 5809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  e.  RR )
7 monoord2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
87ralrimiva 2732 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
9 oveq1 6027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
109fveq2d 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
11 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1210, 11breq12d 4166 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )
) )
1312cbvralv 2875 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
)  <->  A. n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( F `  n ) )
148, 13sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( F `  n ) )
1514r19.21bi 2747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )
)
16 fzp1elp1 11032 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )
1716adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
18 eluzelz 10428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2019zcnd 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
21 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
22 npcan 9246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2423oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
2617, 25eleqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
272ralrimiva 2732 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR )
2827adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR )
29 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3029eleq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
3130rspcv 2991 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
3226, 28, 31sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
33 fzssp1 11027 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
3433, 24syl5sseq 3339 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
3534sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3611eleq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
3736rspcv 2991 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  n )  e.  RR ) )
3835, 28, 37sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3932, 38lenegd 9537 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )  <->  -u ( F `
 n )  <_  -u ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
4015, 39mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -u ( F `
 n )  <_  -u ( F `  (
n  +  1 ) ) )
4111negeqd 9232 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  n ) )
42 negex 9236 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  n )  e.  _V
4341, 4, 42fvmpt 5745 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  n )  =  -u ( F `  n ) )
4435, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  =  -u ( F `  n ) )
4529negeqd 9232 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  ( n  +  1
) ) )
46 negex 9236 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  _V
4745, 4, 46fvmpt 5745 . . . . . 6  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  ( n  +  1
) )  =  -u ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4826, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( n  +  1
) ) )
4940, 44, 483brtr4d 4183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  <_  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
) `  ( n  +  1 ) ) )
501, 6, 49monoord 11280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  M )  <_  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  N ) )
51 eluzfz1 10996 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
521, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
53 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
5453negeqd 9232 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  M ) )
55 negex 9236 . . . . 5  |-  -u ( F `  M )  e.  _V
5654, 4, 55fvmpt 5745 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  M )  =  -u ( F `  M ) )
5752, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  M )  =  -u ( F `  M ) )
58 eluzfz2 10997 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
591, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
60 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
6160negeqd 9232 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  N ) )
62 negex 9236 . . . . 5  |-  -u ( F `  N )  e.  _V
6361, 4, 62fvmpt 5745 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  N )  =  -u ( F `  N ) )
6459, 63syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  N )  =  -u ( F `  N ) )
6550, 57, 643brtr3d 4182 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( F `  M )  <_  -u ( F `  N )
)
6660eleq1d 2453 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  N )  e.  RR ) )
6766rspcv 2991 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  N )  e.  RR ) )
6859, 27, 67sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
6953eleq1d 2453 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  M )  e.  RR ) )
7069rspcv 2991 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  M )  e.  RR ) )
7152, 27, 70sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
7268, 71lenegd 9537 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  <_  ( F `  M )  <->  -u ( F `  M
)  <_  -u ( F `
 N ) ) )
7365, 72mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( F `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   1c1 8924    + caddc 8926    <_ cle 9054    - cmin 9223   -ucneg 9224   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975
This theorem is referenced by:  iseraltlem1  12402  climcndslem1  12556  climcndslem2  12557  dvfsumlem3  19779  emcllem7  20707  climinf  27400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976
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