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Theorem monotoddzz 27131
Description: A function (given implicitly) which is odd and monotonic on  NN0 is monotonic on  ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotoddzz.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  E  <  F ) )
monotoddzz.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )
monotoddzz.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  G  = 
-u F )
monotoddzz.4  |-  ( x  =  A  ->  E  =  C )
monotoddzz.5  |-  ( x  =  B  ->  E  =  D )
monotoddzz.6  |-  ( x  =  y  ->  E  =  F )
monotoddzz.7  |-  ( x  =  -u y  ->  E  =  G )
Assertion
Ref Expression
monotoddzz  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  C  <  D ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, A, y    x, B, y    y, E    x, C, y    x, D, y   
x, F    x, G
Allowed substitution hints:    E( x)    F( y)    G( y)

Proof of Theorem monotoddzz
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ZZ )
2 nfmpt1 4125 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  ZZ  |->  E )
3 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x
a
42, 3nffv 5548 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )
54nfel1 2442 . . . . 5  |-  F/ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR
61, 5nfim 1781 . . . 4  |-  F/ x
( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR )
7 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  ZZ  <->  a  e.  ZZ ) )
87anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  a  e.  ZZ ) ) )
9 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a ) )
109eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  e.  RR  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
)  e.  RR ) )
118, 10imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  e.  RR ) 
<->  ( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR ) ) )
12 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
13 monotoddzz.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  |->  E )  =  ( x  e.  ZZ  |->  E )
1514fvmpt2 5624 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )
1612, 13, 15syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )
1716, 13eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  e.  RR )
186, 11, 17chvar 1939 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR )
19 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
y  e.  ZZ  <->  a  e.  ZZ ) )
2019anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( ph  /\  y  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  a  e.  ZZ ) ) )
21 negeq 9060 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  -u y  =  -u a )
2221fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u a
) )
23 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a ) )
2423negeqd 9062 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
) )
2522, 24eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y )  =  -u ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  <->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u a
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
) ) )
2620, 25imbi12d 311 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y )  =  -u ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y ) )  <->  ( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 -u a )  = 
-u ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 a ) ) ) )
27 monotoddzz.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  G  = 
-u F )
28 znegcl 10071 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
2928adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  -u y  e.  ZZ )
30 negex 9066 . . . . . . . 8  |-  -u y  e.  _V
31 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  e.  ZZ  <->  -u y  e.  ZZ ) )
3231anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  -u y  e.  ZZ ) ) )
33 monotoddzz.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  E  =  G )
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( E  e.  RR  <->  G  e.  RR ) )
3532, 34imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  -u y  e.  ZZ )  ->  G  e.  RR ) ) )
3630, 35, 13vtocl 2851 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -u y  e.  ZZ )  ->  G  e.  RR )
3728, 36sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  G  e.  RR )
3833, 14fvmptg 5616 . . . . . 6  |-  ( (
-u y  e.  ZZ  /\  G  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 -u y )  =  G )
3929, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y
)  =  G )
40 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
41 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ZZ  <->  y  e.  ZZ ) )
4241anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  y  e.  ZZ ) ) )
43 monotoddzz.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  E  =  F )
4443eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  RR  <->  F  e.  RR ) )
4542, 44imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  F  e.  RR ) ) )
4645, 13chvarv 1966 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  F  e.  RR )
4743, 14fvmptg 5616 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  F  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
4840, 46, 47syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
4948negeqd 9062 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  -u F
)
5027, 39, 493eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
) )
5126, 50chvarv 1966 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u a
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
) )
52 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e. 
NN0 )
53 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ x  a  <  b
54 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
55 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
b
562, 55nffv 5548 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b )
574, 54, 56nfbr 4083 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
)
5853, 57nfim 1781 . . . . 5  |-  F/ x
( a  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) )
5952, 58nfim 1781 . . . 4  |-  F/ x
( ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
)  <  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )
60 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  NN0  <->  a  e.  NN0 ) )
61603anbi2d 1257 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e. 
NN0 )  <->  ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
62 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  <  b  <->  a  <  b ) )
639breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
)  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 a )  < 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )
6462, 63imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) )  <->  ( a  <  b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) ) )
6561, 64imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
x  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  <  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )  <->  ( ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( a  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) ) ) ) )
66 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
y  e.  NN0  <->  b  e.  NN0 ) )
67663anbi3d 1258 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e. 
NN0 )  <->  ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
68 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
x  <  y  <->  x  <  b ) )
69 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) )
7069breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 x )  < 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )
7168, 70imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( x  <  y  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
) )  <->  ( x  <  b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) ) )
7267, 71imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
x  <  y  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  <  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  y ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( x  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) ) ) ) )
73 monotoddzz.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  E  <  F ) )
74 nn0z 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
7574, 16sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )
76753adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 x )  =  E )
77 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  NN0 )
78 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
792, 78nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )
8079nfeq1 2441 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F
8177, 80nfim 1781 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
82 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
8382anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  y  e.  NN0 )
) )
84 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y ) )
8584, 43eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E  <-> 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F ) )
8683, 85imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F ) ) )
8781, 86, 75chvar 1939 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
88873adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 y )  =  F )
8976, 88breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 y )  <->  E  <  F ) )
9073, 89sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 y ) ) )
9172, 90chvarv 1966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) )
9259, 65, 91chvar 1939 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( a  < 
b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) )
9318, 51, 92monotoddzzfi 27130 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 A )  < 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  B ) ) )
94 simp2 956 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
95 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
9695anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  A  e.  ZZ ) ) )
97 monotoddzz.4 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  E  =  C )
9897eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( E  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
9996, 98imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  A  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR ) ) )
10099, 13vtoclg 2856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR ) )
101100anabsi7 792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR )
1021013adant3 975 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR )
10397, 14fvmptg 5616 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  A )  =  C )
10494, 102, 103syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 A )  =  C )
105 simp3 957 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
106 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ZZ  <->  B  e.  ZZ ) )
107106anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  B  e.  ZZ ) ) )
108 monotoddzz.5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  E  =  D )
109108eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( E  e.  RR  <->  D  e.  RR ) )
110107, 109imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR ) ) )
111110, 13vtoclg 2856 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR ) )
112111anabsi7 792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR )
1131123adant2 974 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR )
114108, 14fvmptg 5616 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  B )  =  D )
115105, 113, 114syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 B )  =  D )
116104, 115breq12d 4052 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  A )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 B )  <->  C  <  D ) )
11793, 116bitrd 244 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  C  <  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271   RRcr 8752    < clt 8883   -ucneg 9054   NN0cn0 9981   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  ltrmy  27142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041
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