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Theorem monpropd 13640
Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same monomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
monpropd.3  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
monpropd.4  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
monpropd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
monpropd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
monpropd  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  D )
)

Proof of Theorem monpropd
Dummy variables  a 
b  c  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
5 monpropd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
65ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  (  Homf  `  C
)  =  (  Homf  `  D ) )
7 monpropd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
87ad5antr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
9 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  c  e.  ( Base `  C )
)
10 simp-5r 745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  a  e.  ( Base `  C )
)
11 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  b  e.  ( Base `  C )
)
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )
13 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )
141, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13comfeqval 13611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) )  ->  ( f
( <. c ,  a
>. (comp `  C )
b ) g )  =  ( f (
<. c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) )
1514mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) )  =  ( g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
175ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  (  Homf  `  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
(  Homf 
`  C )  =  (  Homf 
`  D ) )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
c  e.  ( Base `  C ) )
20 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  a  e.  ( Base `  C
) )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
a  e.  ( Base `  C ) )
221, 2, 16, 18, 19, 21homfeqval 13600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( c (  Hom  `  C ) a )  =  ( c (  Hom  `  D )
a ) )
2322mpteq1d 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) )  =  ( g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) )
2415, 23eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) )  =  ( g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) )
2524cnveqd 4857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  ->  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  C )
b ) g ) )  =  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) )
2625funeqd 5276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) ) )
2726ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
(  Hom  `  C ) b ) )  -> 
( A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) )  <->  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) ) )
2827rabbidva 2779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  { f  e.  ( a (  Hom  `  C )
b )  |  A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
29 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  b  e.  ( Base `  C
) )
301, 2, 16, 17, 20, 29homfeqval 13600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
a (  Hom  `  C
) b )  =  ( a (  Hom  `  D ) b ) )
315homfeqbas 13599 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
3231ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
3332raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) )  <->  A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) ) )
3430, 33rabeqbidv 2783 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  { f  e.  ( a (  Hom  `  C )
b )  |  A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a (  Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
3528, 34eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  { f  e.  ( a (  Hom  `  C )
b )  |  A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a (  Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
36353impa 1146 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  ->  { f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a (  Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
3736mpt2eq3dva 5912 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  C
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  C )
b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } ) )
38 mpt2eq12 5908 . . . 4  |-  ( ( ( Base `  C
)  =  ( Base `  D )  /\  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )  ->  (
a  e.  ( Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C
)  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  ( Base `  D
) ,  b  e.  ( Base `  D
)  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } ) )
3931, 31, 38syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  (
Base `  D ) ,  b  e.  ( Base `  D )  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } ) )
4037, 39eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  C
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  C ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  C )
b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  (
Base `  D ) ,  b  e.  ( Base `  D )  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c (  Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } ) )
41 eqid 2283 . . 3  |-  (Mono `  C )  =  (Mono `  C )
42 monpropd.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
431, 2, 3, 41, 42monfval 13635 . 2  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  ( a  e.  ( Base `  C
) ,  b  e.  ( Base `  C
)  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  C ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) } ) )
44 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
45 eqid 2283 . . 3  |-  (Mono `  D )  =  (Mono `  D )
46 monpropd.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
4744, 16, 4, 45, 46monfval 13635 . 2  |-  ( ph  ->  (Mono `  D )  =  ( a  e.  ( Base `  D
) ,  b  e.  ( Base `  D
)  |->  { f  e.  ( a (  Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c (  Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } ) )
4840, 43, 473eqtr4d 2325 1  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   <.cop 3643    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   Fun wfun 5249   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566    Homf chomf 13568  compfccomf 13569  Monocmon 13631
This theorem is referenced by:  oppcepi  13642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-homf 13572  df-comf 13573  df-mon 13633
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