MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopnex Structured version   Unicode version

Theorem mopnex 18539
Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnex.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopnex  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
Distinct variable groups:    D, d    J, d    X, d

Proof of Theorem mopnex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10606 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 , 
( x D y ) ,  1 ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 , 
( x D y ) ,  1 ) )
32stdbdmet 18536 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
41, 3mpan2 653 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
5 rpxr 10609 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
61, 5ax-mp 8 . . 3  |-  1  e.  RR*
7 0lt1 9540 . . 3  |-  0  <  1
8 mopnex.1 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
92, 8stdbdmopn 18538 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
106, 7, 9mp3an23 1271 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  =  ( MetOpen `  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
11 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( d  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  ->  ( MetOpen `  d
)  =  ( MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_ 
1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
1211eqeq2d 2446 . . 3  |-  ( d  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  ->  ( J  =  ( MetOpen `  d )  <->  J  =  ( MetOpen `  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) ) )
1312rspcev 3044 . 2  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_ 
1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
)  /\  J  =  ( MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
144, 10, 13syl2anc 643 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   0cc0 8980   1c1 8981   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111   RR+crp 10602   * Metcxmt 16676   Metcme 16677   MetOpencmopn 16681
This theorem is referenced by:  methaus  18540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-icc 10913  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-bases 16955
  Copyright terms: Public domain W3C validator