MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mosubopt Unicode version

Theorem mosubopt 4280
Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
mosubopt  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt
StepHypRef Expression
1 nfa1 1768 . . 3  |-  F/ y A. y A. z E* x ph
2 nfe1 1718 . . . 4  |-  F/ y E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
32nfmo 2173 . . 3  |-  F/ y E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
4 nfa1 1768 . . . . 5  |-  F/ z A. z E* x ph
5 nfe1 1718 . . . . . . 7  |-  F/ z E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph )
65nfex 1779 . . . . . 6  |-  F/ z E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
76nfmo 2173 . . . . 5  |-  F/ z E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
8 copsexg 4268 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
98mobidv 2191 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( E* x ph 
<->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
109biimpcd 215 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1110sps 1751 . . . . 5  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
124, 7, 11exlimd 1815 . . . 4  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  = 
<. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1312sps 1751 . . 3  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
141, 3, 13exlimd 1815 . 2  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
15 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  A  =  <. y ,  z >. )
16152eximi 1567 . . . . 5  |-  ( E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >. )
1716exlimiv 1624 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.
)
1817con3i 127 . . 3  |-  ( -. 
E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  -.  E. x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
19 exmo 2201 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  \/  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2019ori 364 . . 3  |-  ( -. 
E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2118, 20syl 15 . 2  |-  ( -. 
E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2214, 21pm2.61d1 151 1  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632   E*wmo 2157   <.cop 3656
This theorem is referenced by:  mosubop  4281  funoprabg  5959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662
  Copyright terms: Public domain W3C validator