Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpaadgr Structured version   Unicode version

Theorem mpaadgr 27350
Description: Minimal polynomial has degree the degree of the number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpaadgr  |-  ( A  e.  AA  ->  (deg `  (minPolyAA `  A )
)  =  (degAA `  A
) )

Proof of Theorem mpaadgr
StepHypRef Expression
1 mpaalem 27348 . 2  |-  ( A  e.  AA  ->  (
(minPolyAA `  A )  e.  (Poly `  QQ )  /\  ( (deg `  (minPolyAA `  A ) )  =  (degAA `  A )  /\  ( (minPolyAA `  A ) `  A )  =  0  /\  ( (coeff `  (minPolyAA `  A ) ) `
 (degAA `  A ) )  =  1 ) ) )
2 simpr1 964 . 2  |-  ( ( (minPolyAA `  A )  e.  (Poly `  QQ )  /\  ( (deg `  (minPolyAA `  A ) )  =  (degAA `  A )  /\  ( (minPolyAA `  A ) `  A )  =  0  /\  ( (coeff `  (minPolyAA `  A ) ) `
 (degAA `  A ) )  =  1 ) )  ->  (deg `  (minPolyAA `  A ) )  =  (degAA `  A ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( A  e.  AA  ->  (deg `  (minPolyAA `  A )
)  =  (degAA `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457   0cc0 8995   1c1 8996   QQcq 10579  Polycply 20108  coeffccoe 20110  degcdgr 20111   AAcaa 20236  degAAcdgraa 27336  minPolyAAcmpaa 27337
This theorem is referenced by:  aaitgo  27358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-0p 19565  df-ply 20112  df-coe 20114  df-dgr 20115  df-aa 20237  df-dgraa 27338  df-mpaa 27339
  Copyright terms: Public domain W3C validator