MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfaddcl Unicode version

Theorem mpfaddcl 19823
Description: The sum of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfaddcl.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfaddcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
mpfaddcl  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  o F 
.+  G )  e.  Q )

Proof of Theorem mpfaddcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)  =  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)
2 eqid 2380 . . 3  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
3 mpfaddcl.q . . . . . 6  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
43mpfrcl 19799 . . . . 5  |-  ( F  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
65simp2d 970 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  S  e.  CRing )
7 ovex 6038 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  ^m  I )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  e.  _V )
93mpfsubrg 19821 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
112subrgss 15789 . . . . 5  |-  ( Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  ->  Q  C_  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  Q  C_  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
13 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F  e.  Q )
1412, 13sseldd 3285 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
15 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G  e.  Q )
1612, 15sseldd 3285 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
17 mpfaddcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
18 eqid 2380 . . 3  |-  ( +g  `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) )  =  ( +g  `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
191, 2, 6, 8, 14, 16, 17, 18pwsplusgval 13632 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( +g  `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) G )  =  ( F  o F  .+  G ) )
2018subrgacl 15799 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  /\  F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( +g  `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) G )  e.  Q )
21203expib 1156 . . 3  |-  ( Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  ->  (
( F  e.  Q  /\  G  e.  Q
)  ->  ( F
( +g  `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) G )  e.  Q ) )
2210, 21mpcom 34 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( +g  `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) G )  e.  Q
)
2319, 22eqeltrrd 2455 1  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  o F 
.+  G )  e.  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   ran crn 4812   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235    ^m cmap 6947   Basecbs 13389   +g cplusg 13449    ^s cpws 13590   CRingccrg 15581  SubRingcsubrg 15784   evalSub ces 16329
This theorem is referenced by:  mzpmfp  26488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-prds 13591  df-pws 13593  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-rnghom 15739  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-assa 16292  df-asp 16293  df-ascl 16294  df-psr 16337  df-mvr 16338  df-mpl 16339  df-evls 16340
  Copyright terms: Public domain W3C validator