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Theorem mpfind 19967
 Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfind.cb
mpfind.cp
mpfind.ct
mpfind.cq evalSub
mpfind.mu
mpfind.wa
mpfind.wb
mpfind.wc
mpfind.wd
mpfind.we
mpfind.wf
mpfind.wg
mpfind.co
mpfind.pr
mpfind.a
Assertion
Ref Expression
mpfind
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem mpfind
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfind.a . . . . 5
2 mpfind.cq . . . . 5 evalSub
31, 2syl6eleq 2528 . . . 4 evalSub
42mpfrcl 19941 . . . . . . . . 9 SubRing
51, 4syl 16 . . . . . . . 8 SubRing
6 eqid 2438 . . . . . . . . 9 evalSub evalSub
7 eqid 2438 . . . . . . . . 9 mPoly s mPoly s
8 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
10 mpfind.cb . . . . . . . . 9
116, 7, 8, 9, 10evlsrhm 19944 . . . . . . . 8 SubRing evalSub mPoly s RingHom s
125, 11syl 16 . . . . . . 7 evalSub mPoly s RingHom s
13 eqid 2438 . . . . . . . 8 mPoly s mPoly s
14 eqid 2438 . . . . . . . 8 s s
1513, 14rhmf 15829 . . . . . . 7 evalSub mPoly s RingHom s evalSub mPoly s s
1612, 15syl 16 . . . . . 6 evalSub mPoly s s
17 ffn 5593 . . . . . 6 evalSub mPoly s s evalSub mPoly s
1816, 17syl 16 . . . . 5 evalSub mPoly s
19 fvelrnb 5776 . . . . 5 evalSub mPoly s evalSub mPoly s evalSub
2018, 19syl 16 . . . 4 evalSub mPoly s evalSub
213, 20mpbid 203 . . 3 mPoly s evalSub
22 ffun 5595 . . . . . . . 8 evalSub mPoly s s evalSub
2316, 22syl 16 . . . . . . 7 evalSub
2423adantr 453 . . . . . 6 mPoly s evalSub
25 eqid 2438 . . . . . . 7 s s
26 eqid 2438 . . . . . . 7 mVar s mVar s
27 eqid 2438 . . . . . . 7 mPoly s mPoly s
28 eqid 2438 . . . . . . 7 mPoly s mPoly s
29 eqid 2438 . . . . . . 7 algSc mPoly s algSc mPoly s
305simp1d 970 . . . . . . . . . . . 12
315simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . 14
325simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . 14 SubRing
338subrgcrng 15874 . . . . . . . . . . . . . 14 SubRing s
3431, 32, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 s
35 crngrng 15676 . . . . . . . . . . . . 13 s s
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12 s
377mplrng 16517 . . . . . . . . . . . 12 s mPoly s
3830, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 mPoly s
3938adantr 453 . . . . . . . . . 10 evalSub evalSub mPoly s
40 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub
41 elpreima 5852 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub mPoly s evalSub mPoly s evalSub
4218, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub mPoly s evalSub
4342adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub mPoly s evalSub
4440, 43mpbid 203 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub mPoly s evalSub
4544simpld 447 . . . . . . . . . 10 evalSub evalSub mPoly s
46 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub
47 elpreima 5852 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub mPoly s evalSub mPoly s evalSub
4818, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub mPoly s evalSub
4948adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub mPoly s evalSub
5046, 49mpbid 203 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub mPoly s evalSub
5150simpld 447 . . . . . . . . . 10 evalSub evalSub mPoly s
5213, 27rngacl 15693 . . . . . . . . . 10 mPoly s mPoly s mPoly s mPoly s mPoly s
5339, 45, 51, 52syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 evalSub evalSub mPoly s mPoly s
54 rhmghm 15828 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub mPoly s RingHom s evalSub mPoly s s
5512, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub mPoly s s
5655adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub mPoly s s
57 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 s s
5813, 27, 57ghmlin 15013 . . . . . . . . . . . 12 evalSub mPoly s s mPoly s mPoly s evalSub mPoly s evalSub s evalSub
5956, 45, 51, 58syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub mPoly s evalSub s evalSub
6031adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub
61 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . 13
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub
6316adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub mPoly s s
6463, 45ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub s
6563, 51ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub s
66 mpfind.cp . . . . . . . . . . . 12
679, 14, 60, 62, 64, 65, 66, 57pwsplusgval 13714 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub s evalSub evalSub evalSub
6859, 67eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 evalSub evalSub evalSub mPoly s evalSub evalSub
69 simpl 445 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub
7018adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub evalSub evalSub mPoly s
71 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub mPoly s mPoly s evalSub evalSub
7270, 45, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub evalSub
7372, 2syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub
7423adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub
75 fvimacnvi 5846 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub
7674, 40, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub
7773, 76jca 520 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub evalSub
78 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub mPoly s mPoly s evalSub evalSub
7970, 51, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub evalSub
8079, 2syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub
81 fvimacnvi 5846 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub
8274, 46, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub
8380, 82jca 520 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub evalSub
84 fvex 5744 . . . . . . . . . . . 12 evalSub
85 fvex 5744 . . . . . . . . . . . 12 evalSub
86 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 evalSub evalSub
87 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 mpfind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8987, 88elab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 evalSub evalSub
9189, 90syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 evalSub evalSub
9286, 91anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 evalSub evalSub evalSub
93 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 evalSub evalSub
94 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 mpfind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9694, 95elab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
97 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 evalSub evalSub
9896, 97syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 evalSub evalSub
9993, 98anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 evalSub evalSub evalSub
10092, 99bi2anan9 845 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub
101100anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub
102 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 mpfind.we . . . . . . . . . . . . . . 15
104102, 103elab 3084 . . . . . . . . . . . . . 14
105 oveq12 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 evalSub evalSub evalSub evalSub
106105eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub evalSub evalSub evalSub
107104, 106syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub evalSub
108101, 107imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub
109 mpfind.ad . . . . . . . . . . . 12
11084, 85, 108, 109vtocl2 3009 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub
11169, 77, 83, 110syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10 evalSub evalSub evalSub evalSub
11268, 111eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9 evalSub evalSub evalSub mPoly s
113 elpreima 5852 . . . . . . . . . . 11 evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s
11418, 113syl 16 . . . . . . . . . 10 mPoly s evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s
115114adantr 453 . . . . . . . . 9 evalSub evalSub mPoly s evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s
11653, 112, 115mpbir2and 890 . . . . . . . 8 evalSub evalSub mPoly s evalSub
117116adantlr 697 . . . . . . 7 mPoly s evalSub evalSub mPoly s evalSub
11813, 28rngcl 15679 . . . . . . . . . 10 mPoly s mPoly s mPoly s mPoly s mPoly s
11939, 45, 51, 118syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 evalSub evalSub mPoly s mPoly s
120 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp mPoly s mulGrp mPoly s
121 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp s mulGrp s
122120, 121rhmmhm 15827 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub mPoly s RingHom s evalSub mulGrp mPoly s MndHom mulGrp s
12312, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub mulGrp mPoly s MndHom mulGrp s
124123adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub mulGrp mPoly s MndHom mulGrp s
125120, 13mgpbas 15656 . . . . . . . . . . . . 13 mPoly s mulGrp mPoly s
126120, 28mgpplusg 15654 . . . . . . . . . . . . 13 mPoly s mulGrp mPoly s
127 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14 s s
128121, 127mgpplusg 15654 . . . . . . . . . . . . 13 s mulGrp s
129125, 126, 128mhmlin 14747 . . . . . . . . . . . 12 evalSub mulGrp mPoly s MndHom mulGrp s mPoly s mPoly s evalSub mPoly s evalSub s evalSub
130124, 45, 51, 129syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub mPoly s evalSub s evalSub
131 mpfind.ct . . . . . . . . . . . 12
1329, 14, 60, 62, 64, 65, 131, 127pwsmulrval 13715 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub s evalSub evalSub evalSub
133130, 132eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 evalSub evalSub evalSub mPoly s evalSub evalSub
134 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 mpfind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15
136134, 135elab 3084 . . . . . . . . . . . . . 14
137 oveq12 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 evalSub evalSub evalSub evalSub
138137eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14 evalSub evalSub evalSub evalSub
139136, 138syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . 13 evalSub evalSub evalSub evalSub
140101, 139imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12 evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub
141 mpfind.mu . . . . . . . . . . . 12
14284, 85, 140, 141vtocl2 3009 . . . . . . . . . . 11 evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub evalSub
14369, 77, 83, 142syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10 evalSub evalSub evalSub evalSub
144133, 143eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9 evalSub evalSub evalSub mPoly s
145 elpreima 5852 . . . . . . . . . . 11 evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s
14618, 145syl 16 . . . . . . . . . 10 mPoly s evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s
147146adantr 453 . . . . . . . . 9 evalSub evalSub mPoly s evalSub mPoly s mPoly s evalSub mPoly s
148119, 144, 147mpbir2and 890 . . . . . . . 8 evalSub evalSub mPoly s evalSub
149148adantlr 697 . . . . . . 7 mPoly s evalSub evalSub mPoly s evalSub
1507mplassa 16519 . . . . . . . . . . . . . 14 s mPoly s AssAlg
15130, 34, 150syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 mPoly s AssAlg
152 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar mPoly s Scalar mPoly s
15329, 152asclrhm 16402 . . . . . . . . . . . . 13 mPoly s AssAlg algSc mPoly s Scalar mPoly s RingHom mPoly s
154151, 153syl 16 . . . . . . . . . . . 12 algSc mPoly s Scalar mPoly s RingHom mPoly s
155 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar mPoly s Scalar mPoly s
156155, 13rhmf 15829 . . . . . . . . . . . 12 algSc mPoly s Scalar mPoly s RingHom mPoly s algSc mPoly s Scalar mPoly s mPoly s
157154, 156syl 16 . . . . . . . . . . 11 algSc mPoly s Scalar mPoly s mPoly s
158157adantr 453 . . . . . . . . . 10 s algSc mPoly s Scalar mPoly s mPoly s
1597, 30, 34mplsca 16510 . . . . . . . . . . . . 13 s Scalar mPoly s
160159fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12 s Scalar mPoly s
161160eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11 s Scalar mPoly s
162161biimpa 472 . . . . . . . . . 10 s Scalar mPoly s
163158, 162ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9 s algSc mPoly s mPoly s
16430adantr 453 . . . . . . . . . . 11 s
16531adantr 453 . . . . . . . . . . 11 s
16632adantr 453 . . . . . . . . . . 11 s SubRing
16710subrgss 15871 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubRing
16832, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
1698, 10ressbas2 13522 . . . . . . . . . . . . . 14 s
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 s
171170eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12 s
172171biimpar 473 . . . . . . . . . . 11 s
1736, 7, 8, 10, 29, 164, 165, 166, 172evlssca 19945 . . . . . . . . . 10 s evalSub algSc mPoly s
174 mpfind.co . . . . . . . . . . . . . 14
175174ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . 13
176 snex 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17761, 176xpex 4992 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178 mpfind.wa . . . . . . . . . . . . . . . 16
179177, 178elab 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15
180 sneq 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181180xpeq2d 4904 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182181eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15
183179, 182syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . 14
184183cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . 13
185175, 184sylib 190 . . . . . . . . . . . 12
186185r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . 11
187172, 186syldan 458 . . . . . . . . . 10 s
188173, 187eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9 s evalSub algSc mPoly s
189 elpreima 5852 . . . . . . . . . . 11 evalSub mPoly s algSc mPoly s evalSub algSc mPoly s mPoly s evalSub algSc mPoly s
19018, 189syl 16 . . . . . . . . . 10 algSc mPoly s evalSub algSc mPoly s mPoly s evalSub algSc mPoly s
191190adantr 453 . . . . . . . . 9 s algSc mPoly s evalSub algSc mPoly s mPoly s evalSub algSc mPoly s
192163, 188, 191mpbir2and 890 . . . . . . . 8 s algSc mPoly s evalSub
193192adantlr 697 . . . . . . 7 mPoly s s algSc mPoly s evalSub
19430adantr 453 . . . . . . . . . 10
19536adantr 453 . . . . . . . . . 10 s
196 simpr 449 . . . . . . . . . 10
1977, 26, 13, 194, 195, 196mvrcl 16514 . . . . . . . . 9 mVar s mPoly s
19831adantr 453 . . . . . . . . . . 11
19932adantr 453 . . . . . . . . . . 11 SubRing
2006, 26, 8, 10, 194, 198, 199, 196evlsvar 19946 . . . . . . . . . 10 evalSub mVar s
201 mpfind.pr . . . . . . . . . . . . . 14
20261mptex 5968 . . . . . . . . . . . . . . 15
203 mpfind.wb . . . . . . . . . . . . . . 15
204202, 203elab 3084 . . . . . . . . . . . . . 14
205201, 204sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13
206205ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12
207 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
208207mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . . . . . 14
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