MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfmulcl Structured version   Unicode version

Theorem mpfmulcl 19964
Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfaddcl.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfmulcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
Assertion
Ref Expression
mpfmulcl  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  o F 
.x.  G )  e.  Q )

Proof of Theorem mpfmulcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)  =  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
3 mpfaddcl.q . . . . . 6  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
43mpfrcl 19939 . . . . 5  |-  ( F  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
65simp2d 970 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  S  e.  CRing )
7 ovex 6106 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  ^m  I )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  e.  _V )
93mpfsubrg 19961 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
112subrgss 15869 . . . . 5  |-  ( Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  ->  Q  C_  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  Q  C_  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
13 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F  e.  Q )
1412, 13sseldd 3349 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
15 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G  e.  Q )
1612, 15sseldd 3349 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
17 mpfmulcl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  S )
18 eqid 2436 . . 3  |-  ( .r
`  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) )  =  ( .r `  ( S  ^s  ( ( Base `  S )  ^m  I ) ) )
191, 2, 6, 8, 14, 16, 17, 18pwsmulrval 13713 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( .r
`  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) ) G )  =  ( F  o F  .x.  G ) )
2018subrgmcl 15880 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  /\  F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( .r `  ( S  ^s  ( ( Base `  S )  ^m  I ) ) ) G )  e.  Q
)
21203expib 1156 . . 3  |-  ( Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  ->  (
( F  e.  Q  /\  G  e.  Q
)  ->  ( F
( .r `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) G )  e.  Q ) )
2210, 21mpcom 34 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( .r
`  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) ) G )  e.  Q
)
2319, 22eqeltrrd 2511 1  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  o F 
.x.  G )  e.  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    ^m cmap 7018   Basecbs 13469   .rcmulr 13530    ^s cpws 13670   CRingccrg 15661  SubRingcsubrg 15864   evalSub ces 16409
This theorem is referenced by:  mzpmfp  26804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420
  Copyright terms: Public domain W3C validator