Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfpf1 Structured version   Unicode version

Theorem mpfpf1 19973
 Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q eval1
pf1f.b
mpfpf1.q eval
Assertion
Ref Expression
mpfpf1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem mpfpf1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfpf1.q . . . . 5 eval
2 eqid 2438 . . . . . . 7 eval eval
3 pf1f.b . . . . . . 7
42, 3evlval 19947 . . . . . 6 eval evalSub
54rneqi 5098 . . . . 5 eval evalSub
61, 5eqtri 2458 . . . 4 evalSub
76mpfrcl 19941 . . 3 SubRing
87simp2d 971 . 2
9 id 21 . . . 4
109, 1syl6eleq 2528 . . 3 eval
11 1on 6733 . . . . 5
12 eqid 2438 . . . . . 6 mPoly mPoly
13 eqid 2438 . . . . . 6 s s
142, 3, 12, 13evlrhm 19948 . . . . 5 eval mPoly RingHom s
1511, 8, 14sylancr 646 . . . 4 eval mPoly RingHom s
16 eqid 2438 . . . . . 6 Poly1 Poly1
17 eqid 2438 . . . . . 6 PwSer1 PwSer1
18 eqid 2438 . . . . . 6 Poly1 Poly1
1916, 17, 18ply1bas 16595 . . . . 5 Poly1 mPoly
20 eqid 2438 . . . . 5 s s
2119, 20rhmf 15829 . . . 4 eval mPoly RingHom s eval Poly1 s
22 ffn 5593 . . . 4 eval Poly1 s eval Poly1
23 fvelrnb 5776 . . . 4 eval Poly1 eval Poly1 eval
2415, 21, 22, 234syl 20 . . 3 eval Poly1 eval
2510, 24mpbid 203 . 2 Poly1 eval
26 eqid 2438 . . . . . 6 eval1 eval1
2726, 2, 3, 12, 19evl1val 19950 . . . . 5 Poly1 eval1 eval
28 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
2926, 16, 28, 3evl1rhm 19951 . . . . . . . 8 eval1 Poly1 RingHom s
30 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
3118, 30rhmf 15829 . . . . . . . 8 eval1 Poly1 RingHom s eval1Poly1 s
32 ffn 5593 . . . . . . . 8 eval1Poly1 s eval1 Poly1
3329, 31, 323syl 19 . . . . . . 7 eval1 Poly1
34 fnfvelrn 5869 . . . . . . 7 eval1 Poly1 Poly1 eval1 eval1
3533, 34sylan 459 . . . . . 6 Poly1 eval1 eval1
36 pf1rcl.q . . . . . 6 eval1
3735, 36syl6eleqr 2529 . . . . 5 Poly1 eval1
3827, 37eqeltrrd 2513 . . . 4 Poly1 eval
39 coeq1 5032 . . . . 5 eval eval
4039eleq1d 2504 . . . 4 eval eval
4138, 40syl5ibcom 213 . . 3 Poly1 eval
4241rexlimdva 2832 . 2 Poly1 eval
438, 25, 42sylc 59 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  cvv 2958  csn 3816   cmpt 4268  con0 4583   cxp 4878   crn 4881   ccom 4884   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1o 6719   cmap 7020  cbs 13471   s cpws 13672  ccrg 15663   RingHom crh 15819  SubRingcsubrg 15866   mPoly cmpl 16410   evalSub ces 16411   eval cevl 16412  PwSer1cps1 16571  Poly1cpl1 16573  eval1ce1 16575 This theorem is referenced by:  pf1ind  19977 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-rnghom 15821  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-assa 16374  df-asp 16375  df-ascl 16376  df-psr 16419  df-mvr 16420  df-mpl 16421  df-evls 16422  df-evl 16423  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-ply1 16580  df-evl1 16582
 Copyright terms: Public domain W3C validator