MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfproj Unicode version

Theorem mpfproj 19439
Description: Projections are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfconst.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfconst.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mpfconst.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
mpfconst.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
mpfproj.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mpfproj  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( f `  J
) )  e.  Q
)
Distinct variable groups:    B, f    f, I    f, J    R, f    S, f
Allowed substitution hints:    ph( f)    Q( f)    V( f)

Proof of Theorem mpfproj
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( I mVar  ( Ss  R ) )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
4 mpfconst.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 mpfconst.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 mpfconst.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
7 mpfconst.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
8 mpfproj.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlsvar 19423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( f `
 J ) ) )
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
11 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
121, 10, 3, 11, 4evlsrhm 19421 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
135, 6, 7, 12syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
14 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1614, 15rhmf 15520 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1813, 16, 173syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
193subrgrng 15564 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  R
)  e.  Ring )
207, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
2110, 2, 14, 5, 20, 8mvrcl 16209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  J )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
22 fnfvelrn 5678 . . . 4  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  J
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
2318, 21, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
24 mpfconst.q . . 3  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2523, 24syl6eleqr 2387 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  Q )
269, 25eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( f `  J
) )  e.  Q
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   ↾s cress 13165    ^s cpws 13363   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   RingHom crh 15510  SubRingcsubrg 15557   mVar cmvr 16104   mPoly cmpl 16105   evalSub ces 16106
This theorem is referenced by:  mzpmfp  26928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-evls 16117
  Copyright terms: Public domain W3C validator