MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfproj Unicode version

Theorem mpfproj 19827
Description: Projections are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfconst.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfconst.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mpfconst.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
mpfconst.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
mpfproj.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mpfproj  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( f `  J
) )  e.  Q
)
Distinct variable groups:    B, f    f, I    f, J    R, f    S, f
Allowed substitution hints:    ph( f)    Q( f)    V( f)

Proof of Theorem mpfproj
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . 3  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2 eqid 2387 . . 3  |-  ( I mVar  ( Ss  R ) )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
3 eqid 2387 . . 3  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
4 mpfconst.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 mpfconst.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 mpfconst.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
7 mpfconst.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
8 mpfproj.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlsvar 19811 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( f `
 J ) ) )
10 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
11 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
121, 10, 3, 11, 4evlsrhm 19809 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
135, 6, 7, 12syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
14 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1614, 15rhmf 15754 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5531 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1813, 16, 173syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
193subrgrng 15798 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  R
)  e.  Ring )
207, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
2110, 2, 14, 5, 20, 8mvrcl 16439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  J )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
22 fnfvelrn 5806 . . . 4  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  J
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
2318, 21, 22syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
24 mpfconst.q . . 3  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2523, 24syl6eleqr 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  Q )
269, 25eqeltrrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( f `  J
) )  e.  Q
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    e. cmpt 4207   ran crn 4819    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^m cmap 6954   Basecbs 13396   ↾s cress 13397    ^s cpws 13597   Ringcrg 15587   CRingccrg 15588   RingHom crh 15744  SubRingcsubrg 15791   mVar cmvr 16334   mPoly cmpl 16335   evalSub ces 16336
This theorem is referenced by:  mzpmfp  26495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-hom 13480  df-cco 13481  df-prds 13598  df-pws 13600  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-rnghom 15746  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-assa 16299  df-asp 16300  df-ascl 16301  df-psr 16344  df-mvr 16345  df-mpl 16346  df-evls 16347
  Copyright terms: Public domain W3C validator