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Theorem mpfrcl 19402
Description: Reverse closure for the set of polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpfrcl.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
Assertion
Ref Expression
mpfrcl  |-  ( X  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )

Proof of Theorem mpfrcl
Dummy variables  a 
b  f  g  i  r  s  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3461 . . 3  |-  ( X  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  ->  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/) )
2 mpfrcl.q . . 3  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
31, 2eleq2s 2375 . 2  |-  ( X  e.  Q  ->  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =/=  (/) )
4 rneq 4904 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =  (/)  ->  ran  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =  ran  (/) )
5 rn0 4936 . . . 4  |-  ran  (/)  =  (/)
64, 5syl6eq 2331 . . 3  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =  (/)  ->  ran  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =  (/) )
76necon3i 2485 . 2  |-  ( ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =/=  (/)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/) )
8 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( ( I evalSub  S )  =  (/)  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  ( (/) `  R
) )
9 fv01 5559 . . . . . . 7  |-  ( (/) `  R )  =  (/)
108, 9syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =  (/)  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  (/) )
1110necon3i 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I evalSub  S
)  =/=  (/) )
12 reldmevls 19401 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom evalSub
1312ovprc1 5886 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I evalSub  S )  =  (/) )
1413necon1ai 2488 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  I  e.  _V )
15 n0 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  <->  E. a 
a  e.  ( I evalSub  S ) )
16 df-evls 16101 . . . . . . . . . 10  |- evalSub  =  ( i  e.  _V , 
s  e.  CRing  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
1716elmpt2cl2 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( I evalSub  S
)  ->  S  e.  CRing
)
1817a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( I evalSub  S
)  ->  ( I  e.  _V  ->  S  e.  CRing
) )
1918exlimiv 1666 . . . . . . 7  |-  ( E. a  a  e.  ( I evalSub  S )  ->  (
I  e.  _V  ->  S  e.  CRing ) )
2015, 19sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  (
I  e.  _V  ->  S  e.  CRing ) )
2114, 20jcai 522 . . . . 5  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing ) )
2211, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I  e. 
_V  /\  S  e.  CRing
) )
23 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  s )  e.  _V
24 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ b
(SubRing `  s )
25 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ b [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )
2624, 25nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ b
( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
27 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( Base `  s
)  ->  [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  s )  /  b ]_ [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
2827mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( Base `  s
)  ->  ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
2923, 26, 28csbief 3122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
30 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S )
)
32 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
3433csbeq1d 3087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
35 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  I  ->  i  =  I )
36 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  (
ss  r )  =  ( Ss  r ) )
3735, 36oveqan12d 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( i mPoly  ( ss  r ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )
3837csbeq1d 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
39 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
40 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  I  ->  (
b  ^m  i )  =  ( b  ^m  I ) )
4139, 40oveqan12rd 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( s  ^s  ( b  ^m  i ) )  =  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) )
4241oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) )  =  ( w RingHom  ( S  ^s  ( b  ^m  I
) ) ) )
4340adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( b  ^m  i
)  =  ( b  ^m  I ) )
4443xpeq1d 4712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } )  =  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )
4544mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I )  X. 
{ x } ) ) )
4645eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i )  X.  { x }
) )  <->  ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I )  X.  { x }
) ) ) )
4735, 36oveqan12d 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( i mVar  ( ss  r ) )  =  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )
4847coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) ) )
49 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  i  =  I )
50 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( g `  x
)  =  ( g `
 x ) )
5143, 50mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) )  =  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) )
5249, 51mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) )
5348, 52eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) )  <->  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )
5446, 53anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) )  <->  ( (
f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5542, 54riotaeqbidv 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  ( b  ^m  I
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5655csbeq2dv 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5738, 56eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5857csbeq2dv 3106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
5934, 58eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
6031, 59mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
6129, 60syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
62 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (SubRing `  S
)  e.  _V
6362mptex 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
6461, 16, 63ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( I evalSub  S )  =  ( r  e.  (SubRing `  S )  |-> 
[_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
6564dmeqd 4881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( I evalSub  S )  =  dom  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
66 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
6766dmmptss 5169 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  C_  (SubRing `  S )
6867a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( r  e.  (SubRing `  S )  |->  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )  C_  (SubRing `  S
) )
6965, 68eqsstrd 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( I evalSub  S ) 
C_  (SubRing `  S )
)
7069sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( R  e.  dom  ( I evalSub  S )  ->  R  e.  (SubRing `  S
) ) )
7170con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( -.  R  e.  (SubRing `  S )  ->  -.  R  e.  dom  ( I evalSub  S ) ) )
72 ndmfv 5552 . . . . . . 7  |-  ( -.  R  e.  dom  (
I evalSub  S )  ->  (
( I evalSub  S ) `  R )  =  (/) )
7371, 72syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( -.  R  e.  (SubRing `  S )  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  (/) ) )
7473necon1ad 2513 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/)  ->  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7574com12 27 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7622, 75jcai 522 . . 3  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
77 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  <->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7876, 77sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I  e. 
_V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S ) ) )
793, 7, 783syl 18 1  |-  ( X  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   [_csb 3081    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   ↾s cress 13149    ^s cpws 13347   CRingccrg 15338   RingHom crh 15494  SubRingcsubrg 15541  algSccascl 16052   mVar cmvr 16088   mPoly cmpl 16089   evalSub ces 16090
This theorem is referenced by:  mpff  19425  mpfaddcl  19426  mpfmulcl  19427  mpfind  19428  pf1rcl  19432  mpfpf1  19434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-evls 16101
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