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Theorem mpfrcl 19617
Description: Reverse closure for the set of polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpfrcl.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
Assertion
Ref Expression
mpfrcl  |-  ( X  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )

Proof of Theorem mpfrcl
Dummy variables  a 
b  f  g  i  r  s  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3549 . . 3  |-  ( X  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  ->  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/) )
2 mpfrcl.q . . 3  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
31, 2eleq2s 2458 . 2  |-  ( X  e.  Q  ->  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =/=  (/) )
4 rneq 5007 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =  (/)  ->  ran  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =  ran  (/) )
5 rn0 5039 . . . 4  |-  ran  (/)  =  (/)
64, 5syl6eq 2414 . . 3  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =  (/)  ->  ran  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =  (/) )
76necon3i 2568 . 2  |-  ( ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =/=  (/)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/) )
8 fveq1 5631 . . . . . . 7  |-  ( ( I evalSub  S )  =  (/)  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  ( (/) `  R
) )
9 fv01 5666 . . . . . . 7  |-  ( (/) `  R )  =  (/)
108, 9syl6eq 2414 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =  (/)  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  (/) )
1110necon3i 2568 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I evalSub  S
)  =/=  (/) )
12 reldmevls 19616 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom evalSub
1312ovprc1 6009 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I evalSub  S )  =  (/) )
1413necon1ai 2571 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  I  e.  _V )
15 n0 3552 . . . . . . 7  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  <->  E. a 
a  e.  ( I evalSub  S ) )
16 df-evls 16311 . . . . . . . . . 10  |- evalSub  =  ( i  e.  _V , 
s  e.  CRing  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
1716elmpt2cl2 6190 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( I evalSub  S
)  ->  S  e.  CRing
)
1817a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( I evalSub  S
)  ->  ( I  e.  _V  ->  S  e.  CRing
) )
1918exlimiv 1639 . . . . . . 7  |-  ( E. a  a  e.  ( I evalSub  S )  ->  (
I  e.  _V  ->  S  e.  CRing ) )
2015, 19sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  (
I  e.  _V  ->  S  e.  CRing ) )
2114, 20jcai 522 . . . . 5  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing ) )
2211, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I  e. 
_V  /\  S  e.  CRing
) )
23 fvex 5646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  s )  e.  _V
24 nfcv 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ b
(SubRing `  s )
25 nfcsb1v 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ b [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )
2624, 25nfmpt 4210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ b
( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
27 csbeq1a 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( Base `  s
)  ->  [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  s )  /  b ]_ [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
2827mpteq2dv 4209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( Base `  s
)  ->  ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
2923, 26, 28csbief 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
30 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S )
)
32 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
3433csbeq1d 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
35 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  I  ->  i  =  I )
36 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  (
ss  r )  =  ( Ss  r ) )
3735, 36oveqan12d 6000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( i mPoly  ( ss  r ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )
3837csbeq1d 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
39 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
40 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  I  ->  (
b  ^m  i )  =  ( b  ^m  I ) )
4139, 40oveqan12rd 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( s  ^s  ( b  ^m  i ) )  =  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) )
4241oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) )  =  ( w RingHom  ( S  ^s  ( b  ^m  I
) ) ) )
4340adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( b  ^m  i
)  =  ( b  ^m  I ) )
4443xpeq1d 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } )  =  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )
4544mpteq2dv 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I )  X. 
{ x } ) ) )
4645eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i )  X.  { x }
) )  <->  ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I )  X.  { x }
) ) ) )
4735, 36oveqan12d 6000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( i mVar  ( ss  r ) )  =  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )
4847coeq2d 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) ) )
49 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  i  =  I )
50 eqidd 2367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( g `  x
)  =  ( g `
 x ) )
5143, 50mpteq12dv 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) )  =  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) )
5249, 51mpteq12dv 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) )
5348, 52eqeq12d 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) )  <->  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )
5446, 53anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) )  <->  ( (
f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5542, 54riotaeqbidv 6449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  ( b  ^m  I
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5655csbeq2dv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5738, 56eqtrd 2398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5857csbeq2dv 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
5934, 58eqtrd 2398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
6031, 59mpteq12dv 4200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
6129, 60syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
62 fvex 5646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (SubRing `  S
)  e.  _V
6362mptex 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
6461, 16, 63ovmpt2a 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( I evalSub  S )  =  ( r  e.  (SubRing `  S )  |-> 
[_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
6564dmeqd 4984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( I evalSub  S )  =  dom  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
66 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
6766dmmptss 5272 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  C_  (SubRing `  S )
6867a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( r  e.  (SubRing `  S )  |->  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )  C_  (SubRing `  S
) )
6965, 68eqsstrd 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( I evalSub  S ) 
C_  (SubRing `  S )
)
7069sseld 3265 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( R  e.  dom  ( I evalSub  S )  ->  R  e.  (SubRing `  S
) ) )
7170con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( -.  R  e.  (SubRing `  S )  ->  -.  R  e.  dom  ( I evalSub  S ) ) )
72 ndmfv 5659 . . . . . . 7  |-  ( -.  R  e.  dom  (
I evalSub  S )  ->  (
( I evalSub  S ) `  R )  =  (/) )
7371, 72syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( -.  R  e.  (SubRing `  S )  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  (/) ) )
7473necon1ad 2596 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/)  ->  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7574com12 27 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7622, 75jcai 522 . . 3  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
77 df-3an 937 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  <->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7876, 77sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I  e. 
_V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S ) ) )
793, 7, 783syl 18 1  |-  ( X  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 935   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   _Vcvv 2873   [_csb 3167    C_ wss 3238   (/)c0 3543   {csn 3729    e. cmpt 4179    X. cxp 4790   dom cdm 4792   ran crn 4793    o. ccom 4796   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   iota_crio 6439    ^m cmap 6915   Basecbs 13356   ↾s cress 13357    ^s cpws 13557   CRingccrg 15548   RingHom crh 15704  SubRingcsubrg 15751  algSccascl 16262   mVar cmvr 16298   mPoly cmpl 16299   evalSub ces 16300
This theorem is referenced by:  mpff  19640  mpfaddcl  19641  mpfmulcl  19642  mpfind  19643  pf1rcl  19647  mpfpf1  19649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-evls 16311
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