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Theorem mpfrcl 19896
Description: Reverse closure for the set of polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpfrcl.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
Assertion
Ref Expression
mpfrcl  |-  ( X  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )

Proof of Theorem mpfrcl
Dummy variables  a 
b  f  g  i  r  s  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3598 . . 3  |-  ( X  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  ->  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/) )
2 mpfrcl.q . . 3  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
31, 2eleq2s 2500 . 2  |-  ( X  e.  Q  ->  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =/=  (/) )
4 rneq 5058 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =  (/)  ->  ran  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =  ran  (/) )
5 rn0 5090 . . . 4  |-  ran  (/)  =  (/)
64, 5syl6eq 2456 . . 3  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =  (/)  ->  ran  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =  (/) )
76necon3i 2610 . 2  |-  ( ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =/=  (/)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/) )
8 fveq1 5690 . . . . . . 7  |-  ( ( I evalSub  S )  =  (/)  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  ( (/) `  R
) )
9 fv01 5726 . . . . . . 7  |-  ( (/) `  R )  =  (/)
108, 9syl6eq 2456 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =  (/)  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  (/) )
1110necon3i 2610 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I evalSub  S
)  =/=  (/) )
12 reldmevls 19895 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom evalSub
1312ovprc1 6072 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I evalSub  S )  =  (/) )
1413necon1ai 2613 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  I  e.  _V )
15 n0 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  <->  E. a 
a  e.  ( I evalSub  S ) )
16 df-evls 16379 . . . . . . . . . 10  |- evalSub  =  ( i  e.  _V , 
s  e.  CRing  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
1716elmpt2cl2 6253 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( I evalSub  S
)  ->  S  e.  CRing
)
1817a1d 23 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( I evalSub  S
)  ->  ( I  e.  _V  ->  S  e.  CRing
) )
1918exlimiv 1641 . . . . . . 7  |-  ( E. a  a  e.  ( I evalSub  S )  ->  (
I  e.  _V  ->  S  e.  CRing ) )
2015, 19sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  (
I  e.  _V  ->  S  e.  CRing ) )
2114, 20jcai 523 . . . . 5  |-  ( ( I evalSub  S )  =/=  (/)  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing ) )
2211, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I  e. 
_V  /\  S  e.  CRing
) )
23 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  s )  e.  _V
24 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ b
(SubRing `  s )
25 nfcsb1v 3247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ b [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )
2624, 25nfmpt 4261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ b
( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
27 csbeq1a 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( Base `  s
)  ->  [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  s )  /  b ]_ [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
2827mpteq2dv 4260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( Base `  s
)  ->  ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
2923, 26, 28csbief 3256 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
30 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  S  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S )
)
32 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
3332adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
3433csbeq1d 3221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
35 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  I  ->  i  =  I )
36 oveq1 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  S  ->  (
ss  r )  =  ( Ss  r ) )
3735, 36oveqan12d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( i mPoly  ( ss  r ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )
3837csbeq1d 3221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
39 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
40 oveq2 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  I  ->  (
b  ^m  i )  =  ( b  ^m  I ) )
4139, 40oveqan12rd 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( s  ^s  ( b  ^m  i ) )  =  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) )
4241oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) )  =  ( w RingHom  ( S  ^s  ( b  ^m  I
) ) ) )
4340adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( b  ^m  i
)  =  ( b  ^m  I ) )
4443xpeq1d 4864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } )  =  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )
4544mpteq2dv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I )  X. 
{ x } ) ) )
4645eqeq2d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i )  X.  { x }
) )  <->  ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I )  X.  { x }
) ) ) )
4735, 36oveqan12d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( i mVar  ( ss  r ) )  =  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )
4847coeq2d 4998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) ) )
49 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  i  =  I )
5043mpteq1d 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) )  =  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) )
5149, 50mpteq12dv 4251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) )
5248, 51eqeq12d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) )  <->  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )
5346, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) )  <->  ( (
f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5442, 53riotaeqbidv 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  ( b  ^m  I
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5554csbeq2dv 3240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5638, 55eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
5756csbeq2dv 3240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
5834, 57eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ [_ ( i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  / 
b ]_ [_ ( I mPoly 
( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( S  ^s  ( b  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
5931, 58mpteq12dv 4251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ [_ ( i mPoly 
( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom 
( s  ^s  ( b  ^m  i ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  (
i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i )  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
6029, 59syl5eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
61 fvex 5705 . . . . . . . . . . . 12  |-  (SubRing `  S
)  e.  _V
6261mptex 5929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
6360, 16, 62ovmpt2a 6167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( I evalSub  S )  =  ( r  e.  (SubRing `  S )  |-> 
[_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
6463dmeqd 5035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( I evalSub  S )  =  dom  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
65 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
6665dmmptss 5329 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ [_ ( I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( S  ^s  (
b  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( b  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  C_  (SubRing `  S )
6764, 66syl6eqss 3362 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  dom  ( I evalSub  S ) 
C_  (SubRing `  S )
)
6867ssneld 3314 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( -.  R  e.  (SubRing `  S )  ->  -.  R  e.  dom  ( I evalSub  S ) ) )
69 ndmfv 5718 . . . . . . 7  |-  ( -.  R  e.  dom  (
I evalSub  S )  ->  (
( I evalSub  S ) `  R )  =  (/) )
7068, 69syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( -.  R  e.  (SubRing `  S )  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  =  (/) ) )
7170necon1ad 2638 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =/=  (/)  ->  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7271com12 29 . . . 4  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7322, 72jcai 523 . . 3  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
74 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  <->  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
7573, 74sylibr 204 . 2  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  =/=  (/)  ->  ( I  e. 
_V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S ) ) )
763, 7, 753syl 19 1  |-  ( X  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   _Vcvv 2920   [_csb 3215   (/)c0 3592   {csn 3778    e. cmpt 4230    X. cxp 4839   dom cdm 4841   ran crn 4842    o. ccom 4845   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   iota_crio 6505    ^m cmap 6981   Basecbs 13428   ↾s cress 13429    ^s cpws 13629   CRingccrg 15620   RingHom crh 15776  SubRingcsubrg 15823  algSccascl 16330   mVar cmvr 16366   mPoly cmpl 16367   evalSub ces 16368
This theorem is referenced by:  mpff  19919  mpfaddcl  19920  mpfmulcl  19921  mpfind  19922  pf1rcl  19926  mpfpf1  19928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-evls 16379
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