Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfsubrg Structured version   Unicode version

Theorem mpfsubrg 19953
 Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
mpfsubrg SubRing SubRing s

Proof of Theorem mpfsubrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . 6 evalSub evalSub
2 eqid 2435 . . . . . 6 mPoly s mPoly s
3 eqid 2435 . . . . . 6 s s
4 eqid 2435 . . . . . 6 s s
5 eqid 2435 . . . . . 6
61, 2, 3, 4, 5evlsrhm 19934 . . . . 5 SubRing evalSub mPoly s RingHom s
7 eqid 2435 . . . . . 6 mPoly s mPoly s
8 eqid 2435 . . . . . 6 s s
97, 8rhmf 15819 . . . . 5 evalSub mPoly s RingHom s evalSub mPoly s s
106, 9syl 16 . . . 4 SubRing evalSub mPoly s s
11 ffn 5583 . . . 4 evalSub mPoly s s evalSub mPoly s
12 fnima 5555 . . . 4 evalSub mPoly s evalSub mPoly s evalSub
1310, 11, 123syl 19 . . 3 SubRing evalSub mPoly s evalSub
14 mpfaddcl.q . . 3 evalSub
1513, 14syl6reqr 2486 . 2 SubRing evalSub mPoly s
163subrgrng 15863 . . . . . 6 SubRing s
172mplrng 16507 . . . . . 6 s mPoly s
1816, 17sylan2 461 . . . . 5 SubRing mPoly s
19183adant2 976 . . . 4 SubRing mPoly s
207subrgid 15862 . . . 4 mPoly s mPoly s SubRing mPoly s
2119, 20syl 16 . . 3 SubRing mPoly s SubRing mPoly s
22 rhmima 15891 . . 3 evalSub mPoly s RingHom s mPoly s SubRing mPoly s evalSub mPoly s SubRing s
236, 21, 22syl2anc 643 . 2 SubRing evalSub mPoly s SubRing s
2415, 23eqeltrd 2509 1 SubRing SubRing s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   crn 4871  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  cbs 13461   ↾s cress 13462   s cpws 13662  crg 15652  ccrg 15653   RingHom crh 15809  SubRingcsubrg 15856   mPoly cmpl 16400   evalSub ces 16401 This theorem is referenced by:  mpff  19954  mpfaddcl  19955  mpfmulcl  19956 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-assa 16364  df-asp 16365  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-evls 16412
 Copyright terms: Public domain W3C validator