MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpl0 Unicode version

Theorem mpl0 16395
Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpl0.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mpl0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mpl0.o  |-  O  =  ( 0g `  R
)
mpl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
mpl0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpl0.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
mpl0  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( f)    R( f)    O( f)    W( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mpl0
StepHypRef Expression
1 mpl0.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
2 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mpl0.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
4 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5 mpl0.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mpl0.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
72, 3, 4, 5, 6mplsubg 16391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  (SubGrp `  ( I mPwSer  R ) ) )
83, 2, 4mplval2 16386 . . . . 5  |-  P  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  P
) )
9 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( 0g `  ( I mPwSer  R ) )
108, 9subg0 14837 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubGrp `  ( I mPwSer  R ) )  ->  ( 0g `  ( I mPwSer  R
) )  =  ( 0g `  P ) )
117, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( 0g `  P
) )
12 mpl0.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
13 mpl0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  R
)
142, 5, 6, 12, 13, 9psr0 16354 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( D  X.  { O } ) )
1511, 14eqtr3d 2400 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  { O }
) )
161, 15syl5eq 2410 1  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632   {csn 3729    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   "cima 4795   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   Fincfn 7006   NNcn 9893   NN0cn0 10114   Basecbs 13356   0gc0g 13610   Grpcgrp 14572  SubGrpcsubg 14825   mPwSer cmps 16297   mPoly cmpl 16299
This theorem is referenced by:  mplcoe1  16419  evlslem2  16459  coe1z  16550  mdegldg  19667  mdeg0  19671  ply1nzb  19723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-subg 14828  df-psr 16308  df-mpl 16310
  Copyright terms: Public domain W3C validator