MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpl0 Structured version   Unicode version

Theorem mpl0 16509
Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpl0.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mpl0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mpl0.o  |-  O  =  ( 0g `  R
)
mpl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
mpl0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpl0.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
mpl0  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( f)    R( f)    O( f)    W( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mpl0
StepHypRef Expression
1 mpl0.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mpl0.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5 mpl0.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mpl0.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
72, 3, 4, 5, 6mplsubg 16505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  (SubGrp `  ( I mPwSer  R ) ) )
83, 2, 4mplval2 16500 . . . . 5  |-  P  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  P
) )
9 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( 0g `  ( I mPwSer  R ) )
108, 9subg0 14955 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubGrp `  ( I mPwSer  R ) )  ->  ( 0g `  ( I mPwSer  R
) )  =  ( 0g `  P ) )
117, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( 0g `  P
) )
12 mpl0.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
13 mpl0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  R
)
142, 5, 6, 12, 13, 9psr0 16468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( D  X.  { O } ) )
1511, 14eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  { O }
) )
161, 15syl5eq 2482 1  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   {csn 3816    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   "cima 4884   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   NNcn 10005   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690  SubGrpcsubg 14943   mPwSer cmps 16411   mPoly cmpl 16413
This theorem is referenced by:  mplcoe1  16533  evlslem2  16573  coe1z  16661  mdegldg  19994  mdeg0  19998  ply1nzb  20050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-psr 16422  df-mpl 16424
  Copyright terms: Public domain W3C validator