MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpl0 Unicode version

Theorem mpl0 16467
Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpl0.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mpl0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mpl0.o  |-  O  =  ( 0g `  R
)
mpl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
mpl0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpl0.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
mpl0  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( f)    R( f)    O( f)    W( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mpl0
StepHypRef Expression
1 mpl0.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mpl0.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
4 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5 mpl0.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mpl0.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
72, 3, 4, 5, 6mplsubg 16463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  (SubGrp `  ( I mPwSer  R ) ) )
83, 2, 4mplval2 16458 . . . . 5  |-  P  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  P
) )
9 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( 0g
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( 0g `  ( I mPwSer  R ) )
108, 9subg0 14913 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubGrp `  ( I mPwSer  R ) )  ->  ( 0g `  ( I mPwSer  R
) )  =  ( 0g `  P ) )
117, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( 0g `  P
) )
12 mpl0.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
13 mpl0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  R
)
142, 5, 6, 12, 13, 9psr0 16426 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( D  X.  { O } ) )
1511, 14eqtr3d 2446 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  { O }
) )
161, 15syl5eq 2456 1  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( D  X.  { O }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678   {csn 3782    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   "cima 4848   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^m cmap 6985   Fincfn 7076   NNcn 9964   NN0cn0 10185   Basecbs 13432   0gc0g 13686   Grpcgrp 14648  SubGrpcsubg 14901   mPwSer cmps 16369   mPoly cmpl 16371
This theorem is referenced by:  mplcoe1  16491  evlslem2  16531  coe1z  16619  mdegldg  19950  mdeg0  19954  ply1nzb  20006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-subg 14904  df-psr 16380  df-mpl 16382
  Copyright terms: Public domain W3C validator