MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbas Unicode version

Theorem mplbas 16174
Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplbas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplbas  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
Distinct variable groups:    B, f    f, I    R, f    .0. , f
Allowed substitution hints:    P( f)    S( f)    U( f)

Proof of Theorem mplbas
StepHypRef Expression
1 mplbas.u . 2  |-  U  =  ( Base `  P
)
2 ssrab2 3258 . . 3  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin } 
C_  B
3 mplval.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
4 mplval.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
5 mplval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
6 mplval.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
83, 4, 5, 6, 7mplval 16173 . . . 4  |-  P  =  ( Ss  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin } )
98, 5ressbas2 13199 . . 3  |-  ( { f  e.  B  | 
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  C_  B  ->  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  P )
)
102, 9ax-mp 8 . 2  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  ( Base `  P
)
111, 10eqtr4i 2306 1  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   0gc0g 13400   mPwSer cmps 16087   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mplelbas  16175  mplval2  16176  mplbasss  16177  mplsubg  16181  mpllss  16182  ressmplbas2  16199  mplbaspropd  16314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-psr 16098  df-mpl 16100
  Copyright terms: Public domain W3C validator