MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbas Unicode version

Theorem mplbas 16190
Description: Base set of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplbas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplbas  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
Distinct variable groups:    B, f    f, I    R, f    .0. , f
Allowed substitution hints:    P( f)    S( f)    U( f)

Proof of Theorem mplbas
StepHypRef Expression
1 mplbas.u . 2  |-  U  =  ( Base `  P
)
2 ssrab2 3271 . . 3  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin } 
C_  B
3 mplval.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
4 mplval.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
5 mplval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
6 mplval.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin }
83, 4, 5, 6, 7mplval 16189 . . . 4  |-  P  =  ( Ss  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin } )
98, 5ressbas2 13215 . . 3  |-  ( { f  e.  B  | 
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin }  C_  B  ->  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  P )
)
102, 9ax-mp 8 . 2  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin }  =  ( Base `  P
)
111, 10eqtr4i 2319 1  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   0gc0g 13416   mPwSer cmps 16103   mPoly cmpl 16105
This theorem is referenced by:  mplelbas  16191  mplval2  16192  mplbasss  16193  mplsubg  16197  mpllss  16198  ressmplbas2  16215  mplbaspropd  16330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-psr 16114  df-mpl 16116
  Copyright terms: Public domain W3C validator