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Theorem mplbas2 16422
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplbas2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplbas2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplbas2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplbas2.a  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
mplbas2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplbas2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplbas2  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem mplbas2
Dummy variables  u  k  v  x  z 
y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplbas2.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mplbas2.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplbas2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
41, 2, 3psrassa 16368 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )
5 mplbas2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
7 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
85, 1, 6, 7mplbasss 16387 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )
98a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( Base `  S ) )
10 mplbas2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( I mVar  R )
11 crngrng 15561 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
123, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
131, 10, 7, 2, 12mvrf 16379 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  S ) )
14 ffn 5495 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> ( Base `  S )  ->  V  Fn  I )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
162adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
1712adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
18 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
195, 10, 6, 16, 17, 18mvrcl 16403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  ( Base `  P
) )
2019ralrimiva 2711 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  ( Base `  P ) )
21 ffnfv 5796 . . . . . 6  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  (
Base `  P )
) )
2215, 20, 21sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  P ) )
23 frn 5501 . . . . 5  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  ->  ran  V 
C_  ( Base `  P
) )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  P ) )
25 mplbas2.a . . . . 5  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
2625, 7aspss 16282 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )  /\  ran  V  C_  ( Base `  P ) )  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P ) ) )
274, 9, 24, 26syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P
) ) )
281, 5, 6, 2, 12mplsubrg 16394 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  S
) )
291, 5, 6, 2, 12mpllss 16392 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )
30 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  S )  =  (
LSubSp `  S )
3125, 7, 30aspid 16280 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  /\  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )  -> 
( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
324, 28, 29, 31syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
3327, 32sseqtrd 3300 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) )
34 eqid 2366 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
35 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
36 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
372adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  I  e.  W )
38 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
3912adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  e.  Ring )
40 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( Base `  P )
)
415, 34, 35, 36, 37, 6, 38, 39, 40mplcoe1 16419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  =  ( P  gsumg  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) ) )
42 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
435mplrng 16406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
442, 12, 43syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
45 rngabl 15580 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Abel )
4746adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  P  e.  Abel )
48 ovex 6006 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4948rabex 4267 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
5049a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
5124, 8syl6ss 3277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  S ) )
5225, 7aspsubrg 16281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
534, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
545, 1, 6mplval2 16386 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  P
) )
5554subsubrg 15781 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5628, 55syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5753, 33, 56mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
58 subrgsubg 15761 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
5957, 58syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P ) )
6059adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
615mpllmod 16405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
622, 12, 61syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
6362ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  P  e.  LMod )
6425, 7, 30asplss 16279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
) )
654, 51, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S ) )
661, 2, 12psrlmod 16356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
67 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  P )  =  (
LSubSp `  P )
6854, 30, 67lsslss 15928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  S )
)  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
)  <->  ( ( A `
 ran  V )  e.  ( LSubSp `  S )  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) ) ) )
6966, 29, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (
LSubSp `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
7065, 33, 69mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )
7170ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
) )
72 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
735, 72, 6, 34, 40mplelf 16388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
74 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  R
) )
7573, 74sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  R
) )
765, 37, 39mplsca 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
7776adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
7877fveq2d 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7975, 78eleqtrd 2442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
8037adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  I  e.  W )
81 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
82 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  (.g `  (mulGrp `  P ) )  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
833adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  e.  CRing
)
8483adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  CRing )
85 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )
865, 34, 35, 36, 80, 81, 82, 10, 84, 85mplcoe2 16421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( (mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) ) )
87 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
8881, 87rngidval 15553 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  (mulGrp `  P ) )
895mplcrng 16407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
902, 3, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
9181crngmgp 15559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  CRing  ->  (mulGrp `  P
)  e. CMnd )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9392ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9457ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
9581subrgsubm 15768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P
) ) )
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P ) ) )
97 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ph )
9834psrbag 16322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  W  ->  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
9937, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
10099biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
)
101100simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k : I --> NN0 )
102 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
103101, 102sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( k `  z )  e.  NN0 )
10425, 7aspssid 16283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ran  V 
C_  ( A `  ran  V ) )
1054, 51, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V ) )
106105ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V
) )
10715ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  V  Fn  I )
108 fnfvelrn 5769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  Fn  I  /\  z  e.  I )  ->  ( V `  z
)  e.  ran  V
)
109107, 108sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ran  V )
110106, 109sseldd 3267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ( A `  ran  V
) )
11181, 6mgpbas 15541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
112 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
11381, 112mgpplusg 15539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  (mulGrp `  P ) )
114112subrgmcl 15767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
)  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11557, 114syl3an1 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11687subrg1cl 15763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( 1r `  P )  e.  ( A `  ran  V
) )
11757, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  e.  ( A `
 ran  V )
)
118111, 82, 113, 92, 33, 115, 88, 117mulgnn0subcl 14790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z
)  e.  ( A `
 ran  V )
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
11997, 103, 110, 118syl3anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
120 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )
121119, 120fmptd 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) : I --> ( A `
 ran  V )
)
122100simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' k " NN )  e.  Fin )
123 nn0supp 10166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k : I --> NN0  ->  ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' k " NN ) )
124 eqimss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' k " NN )  ->  ( `' k
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
125101, 123, 1243syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
126101, 125suppssr 5766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
k `  z )  =  0 )
127126oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
12880adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  I  e.  W )
12939adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  Ring )
130129adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  R  e.  Ring )
131 eldifi 3385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( I  \ 
( `' k " NN ) )  ->  z  e.  I )
132131adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  z  e.  I )
1335, 10, 6, 128, 130, 132mvrcl 16403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )
134111, 88, 82mulg0 14782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V `  z )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
135133, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
136127, 135eqtrd 2398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
137136suppss2 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
138 ssfi 7226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' k " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) " ( _V 
\  { ( 1r
`  P ) } ) )  C_  ( `' k " NN ) )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
139122, 137, 138syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
14088, 93, 80, 96, 121, 139gsumsubmcl 15411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
(mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
14186, 140eqeltrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
142 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
143 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
144142, 38, 143, 67lssvscl 15922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  LMod  /\  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) ) )  -> 
( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
14563, 71, 79, 141, 144syl22anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
146 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
147145, 146fmptd 5795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( A `  ran  V ) )
1485, 1, 7, 35, 6mplelbas 16385 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  <->  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
)
149148simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
150149adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
151 ssid 3283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )
152151a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
15373, 152suppssr 5766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  R ) )
15476fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
155154adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
156153, 155eqtrd 2398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
157156oveq1d 5996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
158 eldifi 3385 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
1595, 6, 35, 36, 34, 80, 129, 85mplmon 16417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)
160 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
1616, 142, 38, 160, 42lmod0vs 15873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
16263, 159, 161syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
163158, 162sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
164157, 163eqtrd 2398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
165164suppss2 6200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
166 ssfi 7226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) 
C_  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
167150, 165, 166syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
16842, 47, 50, 60, 147, 167gsumsubgcl 15412 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )  e.  ( A `
 ran  V )
)
16941, 168eqeltrd 2440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( A `  ran  V
) )
170169ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  P )  ->  x  e.  ( A `
 ran  V )
) )
171170ssrdv 3271 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( A `  ran  V ) )
17233, 171eqssd 3282 1  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   {crab 2632   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    C_ wss 3238   ifcif 3654   {csn 3729    e. cmpt 4179   `'ccnv 4791   ran crn 4793   "cima 4795    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   Fincfn 7006   0cc0 8884   NNcn 9893   NN0cn0 10114   Basecbs 13356   .rcmulr 13417  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   0gc0g 13610    gsumg cgsu 13611  .gcmg 14576  SubMndcsubmnd 14624  SubGrpcsubg 14825  CMndccmn 15299   Abelcabel 15300  mulGrpcmgp 15535   Ringcrg 15547   CRingccrg 15548   1rcur 15549  SubRingcsubrg 15751   LModclmod 15837   LSubSpclss 15899  AssAlgcasa 16260  AlgSpancasp 16261   mPwSer cmps 16297   mVar cmvr 16298   mPoly cmpl 16299
This theorem is referenced by:  mplind  16453  evlseu  19615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-assa 16263  df-asp 16264  df-psr 16308  df-mvr 16309  df-mpl 16310
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