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Theorem mplbas2 16533
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplbas2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplbas2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplbas2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplbas2.a  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
mplbas2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplbas2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplbas2  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem mplbas2
Dummy variables  u  k  v  x  z 
y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplbas2.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mplbas2.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplbas2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
41, 2, 3psrassa 16479 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )
5 mplbas2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
85, 1, 6, 7mplbasss 16498 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( Base `  S ) )
10 mplbas2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( I mVar  R )
11 crngrng 15676 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
123, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
131, 10, 7, 2, 12mvrf 16490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  S ) )
14 ffn 5593 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> ( Base `  S )  ->  V  Fn  I )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
162adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
1712adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
18 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
195, 10, 6, 16, 17, 18mvrcl 16514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  ( Base `  P
) )
2019ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  ( Base `  P ) )
21 ffnfv 5896 . . . . . 6  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  (
Base `  P )
) )
2215, 20, 21sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  P ) )
23 frn 5599 . . . . 5  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  ->  ran  V 
C_  ( Base `  P
) )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  P ) )
25 mplbas2.a . . . . 5  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
2625, 7aspss 16393 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )  /\  ran  V  C_  ( Base `  P ) )  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P ) ) )
274, 9, 24, 26syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P
) ) )
281, 5, 6, 2, 12mplsubrg 16505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  S
) )
291, 5, 6, 2, 12mpllss 16503 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )
30 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  S )  =  (
LSubSp `  S )
3125, 7, 30aspid 16391 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  /\  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )  -> 
( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
324, 28, 29, 31syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
3327, 32sseqtrd 3386 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) )
34 eqid 2438 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
35 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
36 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
372adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  I  e.  W )
38 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
3912adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  e.  Ring )
40 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( Base `  P )
)
415, 34, 35, 36, 37, 6, 38, 39, 40mplcoe1 16530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  =  ( P  gsumg  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) ) )
42 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
435mplrng 16517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
442, 12, 43syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
45 rngabl 15695 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Abel )
4746adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  P  e.  Abel )
48 ovex 6108 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4948rabex 4356 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
5124, 8syl6ss 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  S ) )
5225, 7aspsubrg 16392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
534, 51, 52syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
545, 1, 6mplval2 16497 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  P
) )
5554subsubrg 15896 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5628, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5753, 33, 56mpbir2and 890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
58 subrgsubg 15876 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
5957, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P ) )
6059adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
615mpllmod 16516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
622, 12, 61syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
6362ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  P  e.  LMod )
6425, 7, 30asplss 16390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
) )
654, 51, 64syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S ) )
661, 2, 12psrlmod 16467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
67 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  P )  =  (
LSubSp `  P )
6854, 30, 67lsslss 16039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  S )
)  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
)  <->  ( ( A `
 ran  V )  e.  ( LSubSp `  S )  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) ) ) )
6966, 29, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (
LSubSp `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
7065, 33, 69mpbir2and 890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )
7170ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
) )
72 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
735, 72, 6, 34, 40mplelf 16499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
7473ffvelrnda 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  R
) )
755, 37, 39mplsca 16510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
7675adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
7776fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7874, 77eleqtrd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7937adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  I  e.  W )
80 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
81 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  (.g `  (mulGrp `  P ) )  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
823adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  e.  CRing
)
8382adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  CRing )
84 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )
855, 34, 35, 36, 79, 80, 81, 10, 83, 84mplcoe2 16532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( (mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) ) )
86 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
8780, 86rngidval 15668 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  (mulGrp `  P ) )
885mplcrng 16518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
892, 3, 88syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
9080crngmgp 15674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  CRing  ->  (mulGrp `  P
)  e. CMnd )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9291ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9357ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
9480subrgsubm 15883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P
) ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P ) ) )
96 simplll 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ph )
9734psrbag 16433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  W  ->  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
9837, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
9998biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
)
10099simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k : I --> NN0 )
101100ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( k `  z )  e.  NN0 )
10225, 7aspssid 16394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ran  V 
C_  ( A `  ran  V ) )
1034, 51, 102syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V ) )
104103ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V
) )
10515ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  V  Fn  I )
106 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  Fn  I  /\  z  e.  I )  ->  ( V `  z
)  e.  ran  V
)
107105, 106sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ran  V )
108104, 107sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ( A `  ran  V
) )
10980, 6mgpbas 15656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
110 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
11180, 110mgpplusg 15654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  (mulGrp `  P ) )
112110subrgmcl 15882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
)  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11357, 112syl3an1 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11486subrg1cl 15878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( 1r `  P )  e.  ( A `  ran  V
) )
11557, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  e.  ( A `
 ran  V )
)
116109, 81, 111, 91, 33, 113, 87, 115mulgnn0subcl 14905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z
)  e.  ( A `
 ran  V )
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
11796, 101, 108, 116syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
118 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )
119117, 118fmptd 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) : I --> ( A `
 ran  V )
)
12099simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' k " NN )  e.  Fin )
121 nn0supp 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k : I --> NN0  ->  ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' k " NN ) )
122 eqimss 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' k " NN )  ->  ( `' k
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
123100, 121, 1223syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
124100, 123suppssr 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
k `  z )  =  0 )
125124oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
12679adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  I  e.  W )
12739adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  Ring )
128127adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  R  e.  Ring )
129 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( I  \ 
( `' k " NN ) )  ->  z  e.  I )
130129adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  z  e.  I )
1315, 10, 6, 126, 128, 130mvrcl 16514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )
132109, 87, 81mulg0 14897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V `  z )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
134125, 133eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
135134suppss2 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
136 ssfi 7331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' k " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) " ( _V 
\  { ( 1r
`  P ) } ) )  C_  ( `' k " NN ) )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
137120, 135, 136syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
13887, 92, 79, 95, 119, 137gsumsubmcl 15526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
(mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
13985, 138eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
140 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
141 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
142140, 38, 141, 67lssvscl 16033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  LMod  /\  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) ) )  -> 
( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
14363, 71, 78, 139, 142syl22anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
144 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
145143, 144fmptd 5895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( A `  ran  V ) )
1465, 1, 7, 35, 6mplelbas 16496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  <->  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
)
147146simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
148147adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
149 ssid 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
15173, 150suppssr 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  R ) )
15275fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
153152adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
154151, 153eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
155154oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
156 eldifi 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
1575, 6, 35, 36, 34, 79, 127, 84mplmon 16528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)
158 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
1596, 140, 38, 158, 42lmod0vs 15985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
16063, 157, 159syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
161156, 160sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
162155, 161eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
163162suppss2 6302 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
164 ssfi 7331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) 
C_  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
165148, 163, 164syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
16642, 47, 50, 60, 145, 165gsumsubgcl 15527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )  e.  ( A `
 ran  V )
)
16741, 166eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( A `  ran  V
) )
168167ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  P )  ->  x  e.  ( A `
 ran  V )
) )
169168ssrdv 3356 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( A `  ran  V ) )
17033, 169eqssd 3367 1  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   ran crn 4881   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   0cc0 8992   NNcn 10002   NN0cn0 10223   Basecbs 13471   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726  .gcmg 14691  SubMndcsubmnd 14739  SubGrpcsubg 14940  CMndccmn 15414   Abelcabel 15415  mulGrpcmgp 15650   Ringcrg 15662   CRingccrg 15663   1rcur 15664  SubRingcsubrg 15866   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010  AssAlgcasa 16371  AlgSpancasp 16372   mPwSer cmps 16408   mVar cmvr 16409   mPoly cmpl 16410
This theorem is referenced by:  mplind  16564  evlseu  19939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-assa 16374  df-asp 16375  df-psr 16419  df-mvr 16420  df-mpl 16421
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