MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbaspropd Unicode version

Theorem mplbaspropd 16589
Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
psrplusgpropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  S ) )
psrplusgpropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  S ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mplbaspropd  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPoly  R ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  S ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y, x   
x, B, y    y, R, x    y, S, x
Allowed substitution hints:    I( x, y)

Proof of Theorem mplbaspropd
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusgpropd.b1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
2 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  S ) )
31, 2eqtr3d 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  S ) )
43psrbaspropd 16587 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  (
I mPwSer  S ) ) )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
6 psrplusgpropd.p . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  S ) y ) )
71, 2, 6grpidpropd 14681 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  S ) )
87sneqd 3791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 0g `  S ) } )
98difeq2d 3429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( _V  \  {
( 0g `  S
) } ) )
109imaeq2d 5166 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' a
" ( _V  \  { ( 0g `  S ) } ) ) )
1110eleq1d 2474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' a
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' a " ( _V  \  { ( 0g `  S ) } ) )  e.  Fin )
)
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( `' a " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' a " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin ) )
135, 12rabeqbidv 2915 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  |  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  { a  e.  (
Base `  ( I mPwSer  S ) )  |  ( `' a " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin } )
14 eqid 2408 . . . 4  |-  ( I mPoly 
R )  =  ( I mPoly  R )
15 eqid 2408 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
16 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
17 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
18 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  R ) )
1914, 15, 16, 17, 18mplbas 16452 . . 3  |-  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  |  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }
20 eqid 2408 . . . 4  |-  ( I mPoly 
S )  =  ( I mPoly  S )
21 eqid 2408 . . . 4  |-  ( I mPwSer  S )  =  ( I mPwSer  S )
22 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )
23 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
24 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPoly  S ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  S ) )
2520, 21, 22, 23, 24mplbas 16452 . . 3  |-  ( Base `  ( I mPoly  S ) )  =  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  S ) )  |  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  S
) } ) )  e.  Fin }
2613, 19, 253eqtr4g 2465 . 2  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  S ) ) )
27 reldmmpl 16450 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPoly
2827ovprc1 6072 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  (/) )
2927ovprc1 6072 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  S )  =  (/) )
3028, 29eqtr4d 2443 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  ( I mPoly  S ) )
3130fveq2d 5695 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  ( I mPoly  R ) )  =  (
Base `  ( I mPoly  S ) ) )
3231adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPoly  R
) )  =  (
Base `  ( I mPoly  S ) ) )
3326, 32pm2.61dan 767 1  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPoly  R ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2674   _Vcvv 2920    \ cdif 3281   (/)c0 3592   {csn 3778   `'ccnv 4840   "cima 4844   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Fincfn 7072   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   0gc0g 13682   mPwSer cmps 16365   mPoly cmpl 16367
This theorem is referenced by:  ply1baspropd  16596  mdegpropd  19964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-0g 13686  df-psr 16376  df-mpl 16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator