MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbaspropd Structured version   Unicode version

Theorem mplbaspropd 16632
Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
psrplusgpropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  S ) )
psrplusgpropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  S ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mplbaspropd  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPoly  R ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  S ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y, x   
x, B, y    y, R, x    y, S, x
Allowed substitution hints:    I( x, y)

Proof of Theorem mplbaspropd
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusgpropd.b1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
2 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  S ) )
31, 2eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  S ) )
43psrbaspropd 16630 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  (
I mPwSer  S ) ) )
54adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
6 psrplusgpropd.p . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  S ) y ) )
71, 2, 6grpidpropd 14724 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  S ) )
87sneqd 3829 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 0g `  S ) } )
98difeq2d 3467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
( 0g `  R
) } )  =  ( _V  \  {
( 0g `  S
) } ) )
109imaeq2d 5205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' a
" ( _V  \  { ( 0g `  S ) } ) ) )
1110eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' a
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' a " ( _V  \  { ( 0g `  S ) } ) )  e.  Fin )
)
1211adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( `' a " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' a " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin ) )
135, 12rabeqbidv 2953 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  |  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  { a  e.  (
Base `  ( I mPwSer  S ) )  |  ( `' a " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin } )
14 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPoly 
R )  =  ( I mPoly  R )
15 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
16 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
17 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  R ) )
1914, 15, 16, 17, 18mplbas 16495 . . 3  |-  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  |  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPoly 
S )  =  ( I mPoly  S )
21 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPwSer  S )  =  ( I mPwSer  S )
22 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  S ) )
23 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
24 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPoly  S ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  S ) )
2520, 21, 22, 23, 24mplbas 16495 . . 3  |-  ( Base `  ( I mPoly  S ) )  =  { a  e.  ( Base `  (
I mPwSer  S ) )  |  ( `' a "
( _V  \  {
( 0g `  S
) } ) )  e.  Fin }
2613, 19, 253eqtr4g 2495 . 2  |-  ( (
ph  /\  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPoly  R ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  S ) ) )
27 reldmmpl 16493 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPoly
2827ovprc1 6111 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  (/) )
2927ovprc1 6111 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  S )  =  (/) )
3028, 29eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  ( I mPoly  S ) )
3130fveq2d 5734 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  ( I mPoly  R ) )  =  (
Base `  ( I mPoly  S ) ) )
3231adantl 454 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  I  e.  _V )  ->  ( Base `  ( I mPoly  R
) )  =  (
Base `  ( I mPoly  S ) ) )
3326, 32pm2.61dan 768 1  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPoly  R ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   (/)c0 3630   {csn 3816   `'ccnv 4879   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   mPwSer cmps 16408   mPoly cmpl 16410
This theorem is referenced by:  ply1baspropd  16639  mdegpropd  20009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-0g 13729  df-psr 16419  df-mpl 16421
  Copyright terms: Public domain W3C validator