MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbasss Structured version   Unicode version

Theorem mplbasss 16488
Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval2.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplbasss.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
mplbasss  |-  U  C_  B

Proof of Theorem mplbasss
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval2.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplval2.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 mplbasss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 eqid 2435 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 mplval2.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
61, 2, 3, 4, 5mplbas 16485 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin }
7 ssrab2 3420 . 2  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin } 
C_  B
86, 7eqsstri 3370 1  |-  U  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   Basecbs 13461   0gc0g 13715   mPwSer cmps 16398   mPoly cmpl 16400
This theorem is referenced by:  mplelf  16489  mplsubrglem  16494  mpladd  16497  mplmul  16498  mplvsca  16502  ressmpladd  16512  ressmplmul  16513  ressmplvsca  16514  mplbas2  16523  ply1bas  16585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-psr 16409  df-mpl 16411
  Copyright terms: Public domain W3C validator