MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbasss Unicode version

Theorem mplbasss 16424
Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval2.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplbasss.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
mplbasss  |-  U  C_  B

Proof of Theorem mplbasss
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval2.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplval2.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 mplbasss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 eqid 2388 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 mplval2.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
61, 2, 3, 4, 5mplbas 16421 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin }
7 ssrab2 3372 . 2  |-  { f  e.  B  |  ( `' f " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin } 
C_  B
86, 7eqsstri 3322 1  |-  U  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    C_ wss 3264   {csn 3758   `'ccnv 4818   "cima 4822   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   Basecbs 13397   0gc0g 13651   mPwSer cmps 16334   mPoly cmpl 16336
This theorem is referenced by:  mplelf  16425  mplsubrglem  16430  mpladd  16433  mplmul  16434  mplvsca  16438  ressmpladd  16448  ressmplmul  16449  ressmplvsca  16450  mplbas2  16459  ply1bas  16521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-nn 9934  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-psr 16345  df-mpl 16347
  Copyright terms: Public domain W3C validator