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Theorem mplcoe2 16211
Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. (The assumption that  R is a commutative ring is not strictly necessary, because the submonoid of monomials is in the center of the multiplicative monoid of polynomials, but it simplifies the proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe2.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
mplcoe2.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
mplcoe2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplcoe2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mplcoe2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplcoe2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Distinct variable groups:    .^ , k    y,
k,  .1.    k, G    f,
k, y, I    ph, k,
y    R, f, y    D, k, y    P, k    k, V    k, W    .0. , f,
k, y    f, Y, k, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( y, f)    R( k)    .1. ( f)    .^ ( y, f)    G( y, f)    V( y, f)    W( y, f)

Proof of Theorem mplcoe2
Dummy variables  i  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe2.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag 16112 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  W  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
52, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
61, 5mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) )
76simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
87feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `
 i ) ) )
9 iftrue 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
109adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
11 eldif 3162 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
12 ifid 3597 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  ( Y `
 i )
13 nn0supp 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y : I --> NN0  ->  ( `' Y " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' Y " NN ) )
147, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' Y " NN ) )
15 eqimss 3230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' Y " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' Y " NN )  ->  ( `' Y " ( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
177, 16suppssr 5659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  i )  =  0 )
1817ifeq2d 3580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
1912, 18syl5reqr 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2011, 19sylan2br 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2120anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
2210, 21pm2.61dan 766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2322mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `  i
) ) )
248, 23eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
2524eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  =  Y  <-> 
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
2625ifbid 3583 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
2726mpteq2dv 4107 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
28 cnvimass 5033 . . . . 5  |-  ( `' Y " NN ) 
C_  dom  Y
29 fdm 5393 . . . . . 6  |-  ( Y : I --> NN0  ->  dom 
Y  =  I )
307, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  Y  =  I )
3128, 30syl5sseq 3226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  C_  I )
326simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  e.  Fin )
33 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
34 noel 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  i  e.  (/)
35 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  (/) ) )
3634, 35mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  -.  i  e.  w )
37 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  i  e.  w  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
3938mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  0 ) )
40 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  X.  { 0 } )  =  ( i  e.  I  |->  0 )
4139, 40syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
4241eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  <-> 
y  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
4342ifbid 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
4443mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
45 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
46 mpt0 5371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  (/)
4745, 46syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  (/) )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
49 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  P )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
5149, 50rngidval 15343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  G
)
5251gsum0 14457 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 1r
`  P )
5348, 52syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( 1r `  P
) )
5444, 53eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P ) ) )
5533, 54imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( (/)  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) )
5655imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) ) )
57 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  I  <->  x  C_  I
) )
58 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  x ) )
5958ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
6059mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
6160eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
6261ifbid 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
6362mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
64 mpteq1 4100 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
6564oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
6663, 65eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
6757, 66imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
6867imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
69 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  I 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  I ) )
70 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  ( x  u.  { z } ) ) )
7170ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
7271mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
7372eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
7473ifbid 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
7574mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
76 mpteq1 4100 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
7776oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) )
7875, 77eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
7969, 78imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
8079imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
81 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
w  C_  I  <->  ( `' Y " NN )  C_  I ) )
82 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
8382ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
8483mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
8584eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
8685ifbid 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
8786mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
88 mpteq1 4100 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
9087, 89eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
9181, 90imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
9291imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
93 mplcoe1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( I mPoly  R )
94 mplcoe1.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
95 mplcoe1.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
96 mplcoe2.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
97 crngrng 15351 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9993, 3, 94, 95, 50, 2, 98mpl1 16188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
10099eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) )
101100a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) ) )
102 ssun1 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
103 sstr2 3186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x 
C_  I ) )
104102, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x  C_  I )
105104imim1i 54 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
106 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) )
107 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1082adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  I  e.  W
)
10998adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  R  e.  Ring )
1107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  Y : I --> NN0 )
111 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  i  e.  I )  ->  ( Y `  i
)  e.  NN0 )
112110, 111sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
113 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  NN0
114 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y `  i
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
115112, 113, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  e.  NN0 )
116 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
117115, 116fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )
118 nn0supp 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " NN ) )
119117, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" NN ) )
120 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  e.  Fin )
121 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( I  \  x )  ->  -.  i  e.  x )
122121adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  -.  i  e.  x )
123 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  i  e.  x  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
125124suppss2 6073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  x
)
126 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  x )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  e.  Fin )
127120, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
128119, 127eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
1293psrbag 16112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  W  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
130108, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
131117, 128, 130mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  e.  D )
132 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
133 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
134 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I )
135133, 134syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  { z } 
C_  I )
136 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
137136snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  I  <->  { z }  C_  I )
138135, 137sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  z  e.  I
)
139 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z
)  e.  NN0 )
140110, 138, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
141140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
142 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y `  z
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  e.  NN0 )
143141, 113, 142sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 )  e.  NN0 )
144 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )
145143, 144fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )
146 nn0supp 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " NN ) )
147145, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" NN ) )
148 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  e.  Fin
149 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( I  \  { z } )  ->  i  =/=  z
)
150149adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  -> 
i  =/=  z )
151150neneqd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  ->  -.  i  =  z
)
152 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  i  =  z  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
153151, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
154153suppss2 6073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { z } )
155 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { z } )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
156148, 154, 155sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
157147, 156eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
1583psrbag 16112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  W  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
159108, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
160145, 157, 159mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  e.  D )
16193, 107, 94, 95, 3, 108, 109, 131, 132, 160mplmonmul 16208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
162 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .^  =  (.g
`  G )
163 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( I mVar  R )
16493, 3, 94, 95, 108, 49, 162, 163, 109, 138, 140mplcoe3 16210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )
165164oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
166 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
167 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )
168108, 115, 143, 166, 167offval2 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ) )
169112adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
170169nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  CC )
171170addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( 0  +  ( Y `  i
) )  =  ( Y `  i ) )
172 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  -.  z  e.  x )
173172ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  x )
174 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  { z }  ->  i  =  z )
175174adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  =  z )
176175eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( i  e.  x  <->  z  e.  x
) )
177173, 176mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  x )
178177, 123syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
179 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  z  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `
 z ) )
180175, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  z
) )
181175fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  =  ( Y `  z ) )
182180, 181eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
183178, 182oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  ( Y `  i
) ) )
184 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  {
z } )
185133, 184sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  ( x  u.  { z } ) )
186 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
187185, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
188171, 183, 1873eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
189115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
190189nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  CC )
191190addid1d 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
192 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  { z } )
193 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  { z }  <-> 
i  =  z )
194192, 193sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  =  z )
195194, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
196195oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 ) )
197 biorf 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  x  <->  ( i  e. 
{ z }  \/  i  e.  x )
) )
198 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  x  \/  i  e.  { z } ) )
199 orcom 376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  x  \/  i  e.  { z } )  <->  ( i  e.  { z }  \/  i  e.  x )
)
200198, 199bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  {
z }  \/  i  e.  x ) )
201197, 200syl6rbbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  ( x  u.  {
z } )  <->  i  e.  x ) )
202201adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  (
i  e.  ( x  u.  { z } )  <->  i  e.  x
) )
203202ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
204191, 196, 2033eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
205188, 204pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
206205mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) )
207168, 206eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
208207eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
209208ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
210209mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
211161, 165, 2103eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
21249, 107mgpbas 15331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  G )
21349, 132mgpplusg 15329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  G
)
21493mplcrng 16197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
2152, 96, 214syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
21649crngmgp 15349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
217215, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
218217adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  G  e. CMnd )
219102, 134syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  C_  I
)
220219sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  I )
221 cmnmnd 15104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
222217, 221syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
223222adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  G  e.  Mnd )
224 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  k  e.  I )  ->  ( Y `  k
)  e.  NN0 )
2257, 224sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
2262adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  I  e.  W )
22798adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
228 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
22993, 163, 107, 226, 227, 228mvrcl 16193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
230212, 162mulgnn0cl 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  k )  e.  NN0  /\  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
231223, 225, 229, 230syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
232231adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
233220, 232syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
234222adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  G  e.  Mnd )
23593, 163, 107, 108, 109, 138mvrcl 16193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( V `  z )  e.  (
Base `  P )
)
236212, 162mulgnn0cl 14583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P
) )
237234, 140, 235, 236syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( Y `
 z )  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P ) )
238 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( Y `  k )  =  ( Y `  z ) )
239 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( V `  k )  =  ( V `  z ) )
240238, 239oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) )
241212, 213, 218, 120, 233, 138, 172, 237, 240gsumunsn 15221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z ) 
.^  ( V `  z ) ) ) )
242211, 241eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) ) )
243106, 242syl5ibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
244243expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
245244a2d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
246105, 245syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
247246expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
248247a2d 23 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
24956, 68, 80, 92, 101, 248findcard2s 7099 . . . . 5  |-  ( ( `' Y " NN )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
25032, 249mpcom 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
25131, 250mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
252 resmpt 5000 . . . . 5  |-  ( ( `' Y " NN ) 
C_  I  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  |`  ( `' Y " NN ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
25331, 252syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
254253oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
255 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )
256231, 255fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) : I --> ( Base `  P
) )
2577, 16suppssr 5659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  k )  =  0 )
258257oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 0  .^  ( V `  k )
) )
259 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  ->  k  e.  I )
260259, 229sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
261212, 51, 162mulg0 14572 . . . . . . 7  |-  ( ( V `  k )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
262260, 261syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
0  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
263258, 262eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
264263suppss2 6073 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' Y " NN ) )
265 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( ( `' Y " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' Y " NN ) )  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
26632, 264, 265syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
267212, 51, 217, 2, 256, 264, 266gsumres 15197 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
268251, 254, 2673eqtr2d 2321 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
26927, 268eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737    + caddc 8740   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  .gcmg 14366  CMndccmn 15089  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339   mVar cmvr 16088   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mplbas2  16212  ply1coe  16368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100
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