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Theorem mplcoe2 16522
Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. (The assumption that  R is a commutative ring is not strictly necessary, because the submonoid of monomials is in the center of the multiplicative monoid of polynomials, but it simplifies the proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe2.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
mplcoe2.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
mplcoe2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplcoe2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mplcoe2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplcoe2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Distinct variable groups:    .^ , k    y,
k,  .1.    k, G    f,
k, y, I    ph, k,
y    R, f, y    D, k, y    P, k    k, V    k, W    .0. , f,
k, y    f, Y, k, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( y, f)    R( k)    .1. ( f)    .^ ( y, f)    G( y, f)    V( y, f)    W( y, f)

Proof of Theorem mplcoe2
Dummy variables  i  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe2.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag 16423 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  W  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
61, 5mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) )
76simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
87feqmptd 5771 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `
 i ) ) )
9 iftrue 3737 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
109adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
11 eldif 3322 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
12 ifid 3763 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  ( Y `
 i )
13 nn0supp 10265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y : I --> NN0  ->  ( `' Y " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' Y " NN ) )
147, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' Y " NN ) )
15 eqimss 3392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' Y " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' Y " NN )  ->  ( `' Y " ( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
177, 16suppssr 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  i )  =  0 )
1817ifeq2d 3746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
1912, 18syl5reqr 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2011, 19sylan2br 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2120anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
2210, 21pm2.61dan 767 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2322mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `  i
) ) )
248, 23eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
2524eqeq2d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  =  Y  <-> 
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
2625ifbid 3749 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
2726mpteq2dv 4288 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
28 cnvimass 5216 . . . . 5  |-  ( `' Y " NN ) 
C_  dom  Y
29 fdm 5587 . . . . . 6  |-  ( Y : I --> NN0  ->  dom 
Y  =  I )
307, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  Y  =  I )
3128, 30syl5sseq 3388 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  C_  I )
326simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  e.  Fin )
33 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
34 noel 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  i  e.  (/)
35 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  (/) ) )
3634, 35mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  -.  i  e.  w )
37 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  i  e.  w  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
3938mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  0 ) )
40 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  X.  { 0 } )  =  ( i  e.  I  |->  0 )
4139, 40syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
4241eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  <-> 
y  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
4342ifbid 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
4443mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
45 mpteq1 4281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
46 mpt0 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  (/)
4745, 46syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  (/) )
4847oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
49 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  P )
50 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
5149, 50rngidval 15658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  G
)
5251gsum0 14772 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 1r
`  P )
5348, 52syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( 1r `  P
) )
5444, 53eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P ) ) )
5533, 54imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( (/)  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) )
5655imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) ) )
57 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  I  <->  x  C_  I
) )
58 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  x ) )
5958ifbid 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
6059mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
6160eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
6261ifbid 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
6362mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
64 mpteq1 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
6564oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
6663, 65eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
6757, 66imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
6867imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
69 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  I 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  I ) )
70 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  ( x  u.  { z } ) ) )
7170ifbid 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
7271mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
7372eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
7473ifbid 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
7574mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
76 mpteq1 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
7776oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) )
7875, 77eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
7969, 78imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
8079imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
81 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
w  C_  I  <->  ( `' Y " NN )  C_  I ) )
82 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
8382ifbid 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
8483mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
8584eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
8685ifbid 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
8786mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
88 mpteq1 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
8988oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
9087, 89eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
9181, 90imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
9291imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
93 mplcoe1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( I mPoly  R )
94 mplcoe1.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
95 mplcoe1.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
96 mplcoe2.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
97 crngrng 15666 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9993, 3, 94, 95, 50, 2, 98mpl1 16499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
10099eqcomd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) )
101100a1d 23 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) ) )
102 ssun1 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
103 sstr2 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x 
C_  I ) )
104102, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x  C_  I )
105104imim1i 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
106 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) )
107 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1082adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  I  e.  W
)
10998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  R  e.  Ring )
1107adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  Y : I --> NN0 )
111110ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
112 0nn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  NN0
113 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y `  i
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
114111, 112, 113sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  e.  NN0 )
115 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
116114, 115fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )
117 nn0supp 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " NN ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" NN ) )
119 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  e.  Fin )
120 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( I  \  x )  ->  -.  i  e.  x )
121120adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  -.  i  e.  x )
122 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  i  e.  x  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
124123suppss2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  x
)
125 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  x )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  e.  Fin )
126119, 124, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
127118, 126eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
1283psrbag 16423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  W  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
129108, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
130116, 127, 129mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  e.  D )
131 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
132 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
133 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I )
134132, 133syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  { z } 
C_  I )
135 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
136135snss 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  I  <->  { z }  C_  I )
137134, 136sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  z  e.  I
)
138110, 137ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
139138adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
140 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y `  z
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  e.  NN0 )
141139, 112, 140sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 )  e.  NN0 )
142 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )
143141, 142fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )
144 nn0supp 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " NN ) )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" NN ) )
146 snfi 7179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  e.  Fin
147 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( I  \  { z } )  ->  i  =/=  z
)
148147adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  -> 
i  =/=  z )
149148neneqd 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  ->  -.  i  =  z
)
150 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  i  =  z  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
151149, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
152151suppss2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { z } )
153 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { z } )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
154146, 152, 153sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
155145, 154eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
1563psrbag 16423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  W  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
157108, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
158143, 155, 157mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  e.  D )
15993, 107, 94, 95, 3, 108, 109, 130, 131, 158mplmonmul 16519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
160 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .^  =  (.g
`  G )
161 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( I mVar  R )
16293, 3, 94, 95, 108, 49, 160, 161, 109, 137, 138mplcoe3 16521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )
163162oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
164 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
165 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )
166108, 114, 141, 164, 165offval2 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ) )
167111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
168167nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  CC )
169168addid2d 9259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( 0  +  ( Y `  i
) )  =  ( Y `  i ) )
170 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  { z }  ->  i  =  z )
171170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  =  z )
172 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  -.  z  e.  x )
173172ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  x )
174171, 173eqneltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  x )
175174, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
176 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  z  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `
 z ) )
177171, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  z
) )
178171fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  =  ( Y `  z ) )
179177, 178eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
180175, 179oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  ( Y `  i
) ) )
181 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  {
z } )
182132, 181sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  ( x  u.  { z } ) )
183 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
184182, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
185169, 180, 1843eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
186114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
187186nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  CC )
188187addid1d 9258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
189 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  { z } )
190 elsn 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  { z }  <-> 
i  =  z )
191189, 190sylnib 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  =  z )
192191, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
193192oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 ) )
194 biorf 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  x  <->  ( i  e. 
{ z }  \/  i  e.  x )
) )
195 elun 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  x  \/  i  e.  { z } ) )
196 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  x  \/  i  e.  { z } )  <->  ( i  e.  { z }  \/  i  e.  x )
)
197195, 196bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  {
z }  \/  i  e.  x ) )
198194, 197syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  ( x  u.  {
z } )  <->  i  e.  x ) )
199198adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  (
i  e.  ( x  u.  { z } )  <->  i  e.  x
) )
200199ifbid 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
201188, 193, 2003eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
202185, 201pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
203202mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) )
204166, 203eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
205204eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
206205ifbid 3749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
207206mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  o F  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
208159, 163, 2073eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
20949, 107mgpbas 15646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  G )
21049, 131mgpplusg 15644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  G
)
21193mplcrng 16508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
2122, 96, 211syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
21349crngmgp 15664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
215214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  G  e. CMnd )
216102, 133syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  C_  I
)
217216sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  I )
218 cmnmnd 15419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
219214, 218syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
220219adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  G  e.  Mnd )
2217ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
2222adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  I  e.  W )
22398adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
224 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
22593, 161, 107, 222, 223, 224mvrcl 16504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
226209, 160mulgnn0cl 14898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  k )  e.  NN0  /\  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
227220, 221, 225, 226syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
228227adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
229217, 228syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
230219adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  G  e.  Mnd )
23193, 161, 107, 108, 109, 137mvrcl 16504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( V `  z )  e.  (
Base `  P )
)
232209, 160mulgnn0cl 14898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P
) )
233230, 138, 231, 232syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( Y `
 z )  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P ) )
234 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( Y `  k )  =  ( Y `  z ) )
235 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( V `  k )  =  ( V `  z ) )
236234, 235oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) )
237209, 210, 215, 119, 229, 137, 172, 233, 236gsumunsn 15536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z ) 
.^  ( V `  z ) ) ) )
238208, 237eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) ) )
239106, 238syl5ibr 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
240239expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
241240a2d 24 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
242105, 241syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
243242expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
244243a2d 24 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
24556, 68, 80, 92, 101, 244findcard2s 7341 . . . . 5  |-  ( ( `' Y " NN )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
24632, 245mpcom 34 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
24731, 246mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
248 resmpt 5183 . . . . 5  |-  ( ( `' Y " NN ) 
C_  I  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  |`  ( `' Y " NN ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
24931, 248syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
250249oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
251 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )
252227, 251fmptd 5885 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) : I --> ( Base `  P
) )
2537, 16suppssr 5856 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  k )  =  0 )
254253oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 0  .^  ( V `  k )
) )
255 eldifi 3461 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  ->  k  e.  I )
256255, 225sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
257209, 51, 160mulg0 14887 . . . . . . 7  |-  ( ( V `  k )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
258256, 257syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
0  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
259254, 258eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
260259suppss2 6292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' Y " NN ) )
261 ssfi 7321 . . . . 5  |-  ( ( ( `' Y " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' Y " NN ) )  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
26232, 260, 261syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
263209, 51, 214, 2, 252, 260, 262gsumres 15512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
264247, 250, 2633eqtr2d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
26527, 264eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    |` cres 4872   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   0cc0 8982    + caddc 8985   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Mndcmnd 14676  .gcmg 14681  CMndccmn 15404  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   1rcur 15654   mVar cmvr 16399   mPoly cmpl 16400
This theorem is referenced by:  mplbas2  16523  ply1coe  16676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411
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