MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelbas Structured version   Unicode version

Theorem mplelbas 16486
Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplbas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplelbas  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) )

Proof of Theorem mplelbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 5038 . . . 4  |-  ( f  =  X  ->  `' f  =  `' X
)
21imaeq1d 5194 . . 3  |-  ( f  =  X  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
32eleq1d 2501 . 2  |-  ( f  =  X  ->  (
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
4 mplval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
5 mplval.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
6 mplval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
7 mplval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
8 mplbas.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
94, 5, 6, 7, 8mplbas 16485 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
103, 9elrab2 3086 1  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   Basecbs 13461   0gc0g 13715   mPwSer cmps 16398   mPoly cmpl 16400
This theorem is referenced by:  mplsubrglem  16494  mplsubrg  16495  mvrcl  16504  mplmon  16518  mplcoe1  16520  mplbas2  16523  mplelsfi  16543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-psr 16409  df-mpl 16411
  Copyright terms: Public domain W3C validator