MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelsfi Structured version   Unicode version

Theorem mplelsfi 16553
Description: A polynomial treated as a coefficient function has finitely many nonzero terms. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplrcl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplelsfi.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplelsfi.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mplelsfi.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mplelsfi  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )

Proof of Theorem mplelsfi
StepHypRef Expression
1 mplelsfi.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 mplrcl.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
5 mplelsfi.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 mplrcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
72, 3, 4, 5, 6mplelbas 16496 . . 3  |-  ( F  e.  B  <->  ( F  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) )
87simprbi 452 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
91, 8syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816   `'ccnv 4879   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   Basecbs 13471   0gc0g 13725   mPwSer cmps 16408   mPoly cmpl 16410
This theorem is referenced by:  evlslem2  16570  coe1sfi  16612  evlslem6  19936  mdegldg  19991  mdegcl  19994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-nn 10003  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-psr 16419  df-mpl 16421
  Copyright terms: Public domain W3C validator