MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Unicode version

Theorem mplind 16259
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplind.sv  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplind.sy  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mplind.sp  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mplind.st  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mplind.sc  |-  C  =  (algSc `  Y )
mplind.sb  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mplind.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
mplind.t  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
mplind.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
mplind.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
mplind.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mplind.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
mplind.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplind  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, B, y    x, C, y    x, I    ph, x, y    x, H, y    x, K    x,  .x. , y    x, V   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    I( y)    K( y)    V( y)    X( x, y)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . 2  |-  ( H  i^i  B )  C_  H
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mplind.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 mplind.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
52, 3, 4psrassa 16174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e. AssAlg )
6 inss2 3403 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  B )  C_  B
7 mplind.sy . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
8 mplind.sb . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 crngrng 15367 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 16200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
12 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
1312subrgss 15562 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
1411, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
156, 14syl5ss 3203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
16 mplind.sv . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( I mVar  R )
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 16249 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
18 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( V : I --> B  ->  V  Fn  I )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
20 mplind.v . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
2120ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  H )
22 fnfvrnss 5703 . . . . . . 7  |-  ( ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  H )  ->  ran  V  C_  H )
2319, 21, 22syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  H
)
24 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> B  ->  ran  V  C_  B )
2517, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  B
)
2623, 25ssind 3406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( H  i^i  B ) )
27 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) )  =  (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) )
2827, 12aspss 16088 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ran  V  C_  ( H  i^i  B
) )  ->  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ran  V )  C_  ( (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
295, 15, 26, 28syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  C_  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 16228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  (
Base `  Y )
)
3130, 8syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  B )
326a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  B )
337mplassa 16214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e. AssAlg )
343, 4, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. AssAlg )
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  (algSc `  Y )
36 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
3735, 36asclrhm 16097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
3834, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
39 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)
40 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
4139, 40rhm1 15524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  -> 
( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
4238, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
437, 3, 4mplsca 16205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
4443, 10eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Ring )
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
4645, 39rngidcl 15377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
4744, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  R
)
4943fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5048, 49syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5147, 50eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K )
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
5352ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
54 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
) ) )
5554eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H ) )
5655rspcva 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H
)  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H )
5751, 53, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  e.  H )
5842, 57eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  H )
59 assarng 16077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  Ring )
6034, 59syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
618, 40rngidcl 15377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  B )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  B )
63 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( 1r
`  Y )  e.  H  /\  ( 1r
`  Y )  e.  B ) )
6458, 62, 63sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
65 ne0i 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  ->  ( H  i^i  B )  =/=  (/) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  =/=  (/) )
671sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( H  i^i  B )  ->  z  e.  H )
681sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( H  i^i  B )  ->  w  e.  H )
6967, 68anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( H  i^i  B )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( z  e.  H  /\  w  e.  H
) )
70 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
7170caovclg 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( z  .+  w
)  e.  H )
7269, 71sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  H )
73 assalmod 16076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  LMod )
7434, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
75 lmodgrp 15650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Grp )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
7776adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
78 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B
) )
796, 78sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  B )
80 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B
) )
816, 80sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B )
82 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
838, 82grpcl 14511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
8477, 79, 81, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
85 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z 
.+  w )  e.  H  /\  ( z 
.+  w )  e.  B ) )
8672, 84, 85sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8786anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B
) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8887ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B ) )
89 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
90 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
9160adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Ring )
92 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B ) )
936, 92sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  B )
948, 89, 40, 90, 91, 93rngnegl 15396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  =  ( ( inv g `  Y ) `  z
) )
95 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ph )
96 rhmghm 15519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
9738, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
98 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )
9945, 98, 90ghminv 14706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y )  /\  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10097, 47, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10142fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
102100, 101eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
103 rnggrp 15362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  Y )  e.  Grp )
10444, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Grp )
10545, 98grpinvcl 14543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Scalar `  Y )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
106104, 47, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
107106, 50eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K
)
108 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) ) )
109108eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  e.  H ) )
110109rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
111107, 53, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
112102, 111eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H )
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  e.  H )
1141, 92sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  H )
115 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
116115caovclg 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H  /\  z  e.  H ) )  -> 
( ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  .x.  z )  e.  H
)
11795, 113, 114, 116syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  e.  H )
11894, 117eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  H )
11976adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Grp )
1208, 90grpinvcl 14543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B )
121119, 93, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  B )
122 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( (
( inv g `  Y ) `  z
)  e.  H  /\  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B ) )
123118, 121, 122sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) )
12488, 123jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
125124ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
1268, 82, 90issubg2 14652 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Grp  ->  (
( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12776, 126syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12832, 66, 125, 127mpbir3and 1135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y ) )
1291sseli 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( H  i^i  B )  ->  x  e.  H )
1301sseli 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( H  i^i  B )  ->  y  e.  H )
131129, 130anim12i 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( H  i^i  B )  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )
132131, 115sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  H )
13360adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
134 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( H  i^i  B
) )
1356, 134sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B )
136 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  ( H  i^i  B
) )
1376, 136sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  B )
1388, 89rngcl 15370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
140 elin 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( x 
.x.  y )  e.  H  /\  ( x 
.x.  y )  e.  B ) )
141132, 139, 140sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) )
142141ralrimivva 2648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x  .x.  y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
1438, 40, 89issubrg2 15581 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
14460, 143syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
145128, 64, 142, 144mpbir3and 1135 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  Y
) )
1467, 2, 8mplval2 16192 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
147146subsubrg 15587 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
148147simprbda 606 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
14911, 145, 148syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
150 assalmod 16076 . . . . . . 7  |-  ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1515, 150syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1522, 7, 8, 3, 10mpllss 16198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
15334adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e. AssAlg )
154 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
155 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B ) )
1566, 155sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B
)
157 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
15835, 36, 45, 8, 89, 157asclmul1 16095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. AssAlg  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( ( C `  z )  .x.  w
)  =  ( z ( .s `  Y
) w ) )
159153, 154, 156, 158syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  =  ( z ( .s `  Y ) w ) )
16050adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  K  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
161154, 160eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  K
)
16253adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
163 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( C `  x )  =  ( C `  z ) )
164163eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( C `  x
)  e.  H  <->  ( C `  z )  e.  H
) )
165164rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  z
)  e.  H )
166161, 162, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( C `  z )  e.  H
)
1671, 155sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  H
)
168166, 167jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )
169115caovclg 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( C `  z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( ( C `  z )  .x.  w
)  e.  H )
170168, 169syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  e.  H
)
171159, 170eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  H
)
17274adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
1738, 36, 157, 45lmodvscl 15660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( z ( .s
`  Y ) w )  e.  B )
174172, 154, 156, 173syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  B
)
175 elin 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z ( .s `  Y
) w )  e.  H  /\  ( z ( .s `  Y
) w )  e.  B ) )
176171, 174, 175sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
177176ralrimivva 2648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
178 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
17936, 45, 8, 157, 178islss4 15735 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
18074, 179syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
181128, 177, 180mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  Y ) )
182 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )
183146, 182, 178lsslss 15734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
184183simprbda 606 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I mPwSer  R
)  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
185151, 152, 181, 184syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
18627, 12, 182aspid 16086 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  (
I mPwSer  R ) ) )  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
1875, 149, 185, 186syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
18829, 31, 1873sstr3d 3233 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( H  i^i  B ) )
189 mplind.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
190188, 189sseldd 3194 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( H  i^i  B ) )
1911, 190sseldi 3191 1  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631    GrpHom cghm 14696   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355   RingHom crh 15510  SubRingcsubrg 15557   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705  AssAlgcasa 16066  AlgSpancasp 16067  algSccascl 16068   mPwSer cmps 16103   mVar cmvr 16104   mPoly cmpl 16105
This theorem is referenced by:  mpfind  19444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116
  Copyright terms: Public domain W3C validator