MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Unicode version

Theorem mplind 16482
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplind.sv  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplind.sy  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mplind.sp  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mplind.st  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mplind.sc  |-  C  =  (algSc `  Y )
mplind.sb  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mplind.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
mplind.t  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
mplind.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
mplind.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
mplind.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mplind.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
mplind.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplind  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, B, y    x, C, y    x, I    ph, x, y    x, H, y    x, K    x,  .x. , y    x, V   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    I( y)    K( y)    V( y)    X( x, y)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3497 . 2  |-  ( H  i^i  B )  C_  H
2 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mplind.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 mplind.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
52, 3, 4psrassa 16397 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e. AssAlg )
6 inss2 3498 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  B )  C_  B
7 mplind.sy . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
8 mplind.sb . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 crngrng 15594 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 16423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
12 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
1312subrgss 15789 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
156, 14syl5ss 3295 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
16 mplind.sv . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( I mVar  R )
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 16472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
18 ffn 5524 . . . . . . . 8  |-  ( V : I --> B  ->  V  Fn  I )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
20 mplind.v . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
2120ralrimiva 2725 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  H )
22 fnfvrnss 5828 . . . . . . 7  |-  ( ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  H )  ->  ran  V  C_  H )
2319, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  H
)
24 frn 5530 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> B  ->  ran  V  C_  B )
2517, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  B
)
2623, 25ssind 3501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( H  i^i  B ) )
27 eqid 2380 . . . . . 6  |-  (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) )  =  (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) )
2827, 12aspss 16311 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ran  V  C_  ( H  i^i  B
) )  ->  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ran  V )  C_  ( (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
295, 15, 26, 28syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  C_  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 16451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  (
Base `  Y )
)
3130, 8syl6eqr 2430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  B )
326a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  B )
337mplassa 16437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e. AssAlg )
343, 4, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. AssAlg )
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  (algSc `  Y )
36 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
3735, 36asclrhm 16320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
3834, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
39 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)
40 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
4139, 40rhm1 15751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  -> 
( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
4238, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
437, 3, 4mplsca 16428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
4443, 10eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Ring )
45 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
4645, 39rngidcl 15604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  R
)
4943fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5048, 49syl5eq 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5147, 50eleqtrrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K )
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
5352ralrimiva 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
54 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
) ) )
5554eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H ) )
5655rspcva 2986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H
)  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H )
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  e.  H )
5842, 57eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  H )
59 assarng 16300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  Ring )
6034, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
618, 40rngidcl 15604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  B )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  B )
63 elin 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( 1r
`  Y )  e.  H  /\  ( 1r
`  Y )  e.  B ) )
6458, 62, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
65 ne0i 3570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  ->  ( H  i^i  B )  =/=  (/) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  =/=  (/) )
671sseli 3280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( H  i^i  B )  ->  z  e.  H )
681sseli 3280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( H  i^i  B )  ->  w  e.  H )
6967, 68anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( H  i^i  B )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( z  e.  H  /\  w  e.  H
) )
70 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
7170caovclg 6171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( z  .+  w
)  e.  H )
7269, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  H )
73 assalmod 16299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  LMod )
7434, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
75 lmodgrp 15877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Grp )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
78 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B
) )
796, 78sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  B )
80 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B
) )
816, 80sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B )
82 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
838, 82grpcl 14738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
8477, 79, 81, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
85 elin 3466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z 
.+  w )  e.  H  /\  ( z 
.+  w )  e.  B ) )
8672, 84, 85sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8786anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B
) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8887ralrimiva 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B ) )
89 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
90 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
9160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Ring )
92 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B ) )
936, 92sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  B )
948, 89, 40, 90, 91, 93rngnegl 15623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  =  ( ( inv g `  Y ) `  z
) )
95 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ph )
96 rhmghm 15746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
9738, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
98 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )
9945, 98, 90ghminv 14933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y )  /\  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10097, 47, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10142fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
102100, 101eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
103 rnggrp 15589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  Y )  e.  Grp )
10444, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Grp )
10545, 98grpinvcl 14770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Scalar `  Y )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
106104, 47, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
107106, 50eleqtrrd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K
)
108 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) ) )
109108eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  e.  H ) )
110109rspcva 2986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
111107, 53, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
112102, 111eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H )
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  e.  H )
1141, 92sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  H )
115 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
116115caovclg 6171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H  /\  z  e.  H ) )  -> 
( ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  .x.  z )  e.  H
)
11795, 113, 114, 116syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  e.  H )
11894, 117eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  H )
11976adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Grp )
1208, 90grpinvcl 14770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B )
121119, 93, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  B )
122 elin 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( (
( inv g `  Y ) `  z
)  e.  H  /\  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B ) )
123118, 121, 122sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) )
12488, 123jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
125124ralrimiva 2725 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
1268, 82, 90issubg2 14879 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Grp  ->  (
( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12776, 126syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12832, 66, 125, 127mpbir3and 1137 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y ) )
1291sseli 3280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( H  i^i  B )  ->  x  e.  H )
1301sseli 3280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( H  i^i  B )  ->  y  e.  H )
131129, 130anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( H  i^i  B )  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )
132131, 115sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  H )
13360adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
134 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( H  i^i  B
) )
1356, 134sseldi 3282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B )
136 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  ( H  i^i  B
) )
1376, 136sseldi 3282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  B )
1388, 89rngcl 15597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
140 elin 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( x 
.x.  y )  e.  H  /\  ( x 
.x.  y )  e.  B ) )
141132, 139, 140sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) )
142141ralrimivva 2734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x  .x.  y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
1438, 40, 89issubrg2 15808 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
14460, 143syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
145128, 64, 142, 144mpbir3and 1137 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  Y
) )
1467, 2, 8mplval2 16415 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
147146subsubrg 15814 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
148147simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
14911, 145, 148syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
150 assalmod 16299 . . . . . . 7  |-  ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1515, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1522, 7, 8, 3, 10mpllss 16421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
15334adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e. AssAlg )
154 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
155 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B ) )
1566, 155sseldi 3282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B
)
157 eqid 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
15835, 36, 45, 8, 89, 157asclmul1 16318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. AssAlg  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( ( C `  z )  .x.  w
)  =  ( z ( .s `  Y
) w ) )
159153, 154, 156, 158syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  =  ( z ( .s `  Y ) w ) )
16050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  K  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
161154, 160eleqtrrd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  K
)
16253adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
163 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( C `  x )  =  ( C `  z ) )
164163eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( C `  x
)  e.  H  <->  ( C `  z )  e.  H
) )
165164rspcva 2986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  z
)  e.  H )
166161, 162, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( C `  z )  e.  H
)
1671, 155sseldi 3282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  H
)
168166, 167jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )
169115caovclg 6171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( C `  z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( ( C `  z )  .x.  w
)  e.  H )
170168, 169syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  e.  H
)
171159, 170eqeltrrd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  H
)
17274adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
1738, 36, 157, 45lmodvscl 15887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( z ( .s
`  Y ) w )  e.  B )
174172, 154, 156, 173syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  B
)
175 elin 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z ( .s `  Y
) w )  e.  H  /\  ( z ( .s `  Y
) w )  e.  B ) )
176171, 174, 175sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
177176ralrimivva 2734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
178 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
17936, 45, 8, 157, 178islss4 15958 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
18074, 179syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
181128, 177, 180mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  Y ) )
182 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )
183146, 182, 178lsslss 15957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
184183simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I mPwSer  R
)  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
185151, 152, 181, 184syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
18627, 12, 182aspid 16309 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  (
I mPwSer  R ) ) )  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
1875, 149, 185, 186syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
18829, 31, 1873sstr3d 3326 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( H  i^i  B ) )
189 mplind.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
190188, 189sseldd 3285 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( H  i^i  B ) )
1911, 190sseldi 3282 1  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ran crn 4812    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450  Scalarcsca 13452   .scvsca 13453   Grpcgrp 14605   inv gcminusg 14606  SubGrpcsubg 14858    GrpHom cghm 14923   Ringcrg 15580   CRingccrg 15581   1rcur 15582   RingHom crh 15737  SubRingcsubrg 15784   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928  AssAlgcasa 16289  AlgSpancasp 16290  algSccascl 16291   mPwSer cmps 16326   mVar cmvr 16327   mPoly cmpl 16328
This theorem is referenced by:  mpfind  19825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-rnghom 15739  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-assa 16292  df-asp 16293  df-ascl 16294  df-psr 16337  df-mvr 16338  df-mpl 16339
  Copyright terms: Public domain W3C validator