Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Unicode version

Theorem mplind 16555
 Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk
mplind.sv mVar
mplind.sy mPoly
mplind.sp
mplind.st
mplind.sc algSc
mplind.sb
mplind.p
mplind.t
mplind.s
mplind.v
mplind.x
mplind.i
mplind.r
Assertion
Ref Expression
mplind
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   , ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3554 . 2
2 eqid 2436 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
3 mplind.i . . . . . 6
4 mplind.r . . . . . 6
52, 3, 4psrassa 16470 . . . . 5 mPwSer AssAlg
6 inss2 3555 . . . . . 6
7 mplind.sy . . . . . . . 8 mPoly
8 mplind.sb . . . . . . . 8
9 crngrng 15667 . . . . . . . . 9
104, 9syl 16 . . . . . . . 8
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 16496 . . . . . . 7 SubRing mPwSer
12 eqid 2436 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
1312subrgss 15862 . . . . . . 7 SubRing mPwSer mPwSer
1411, 13syl 16 . . . . . 6 mPwSer
156, 14syl5ss 3352 . . . . 5 mPwSer
16 mplind.sv . . . . . . . . 9 mVar
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 16545 . . . . . . . 8
18 ffn 5584 . . . . . . . 8
1917, 18syl 16 . . . . . . 7
20 mplind.v . . . . . . . 8
2120ralrimiva 2782 . . . . . . 7
22 fnfvrnss 5889 . . . . . . 7
2319, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6
24 frn 5590 . . . . . . 7
2517, 24syl 16 . . . . . 6
2623, 25ssind 3558 . . . . 5
27 eqid 2436 . . . . . 6 AlgSpan mPwSer AlgSpan mPwSer
2827, 12aspss 16384 . . . . 5 mPwSer AssAlg mPwSer AlgSpan mPwSer AlgSpan mPwSer
295, 15, 26, 28syl3anc 1184 . . . 4 AlgSpan mPwSer AlgSpan mPwSer
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 16524 . . . . 5 AlgSpan mPwSer
3130, 8syl6eqr 2486 . . . 4 AlgSpan mPwSer
326a1i 11 . . . . . . . 8
337mplassa 16510 . . . . . . . . . . . . . 14 AssAlg
343, 4, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 AssAlg
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 algSc
36 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
3735, 36asclrhm 16393 . . . . . . . . . . . . 13 AssAlg Scalar RingHom
3834, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Scalar RingHom
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40rhm1 15824 . . . . . . . . . . . 12 Scalar RingHom Scalar
4238, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11 Scalar
437, 3, 4mplsca 16501 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
4443, 10eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
45 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
4645, 39rngidcl 15677 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14
4943fveq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
5048, 49syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
5147, 50eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13
5352ralrimiva 2782 . . . . . . . . . . . 12
54 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
5554eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
5655rspcva 3043 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 Scalar
5842, 57eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . 10
59 assarng 16373 . . . . . . . . . . . 12 AssAlg
6034, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11
618, 40rngidcl 15677 . . . . . . . . . . 11
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10
63 elin 3523 . . . . . . . . . 10
6458, 62, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . 9
65 ne0i 3627 . . . . . . . . 9
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8
671sseli 3337 . . . . . . . . . . . . . . 15
681sseli 3337 . . . . . . . . . . . . . . 15
6967, 68anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14
70 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15
7170caovclg 6232 . . . . . . . . . . . . . 14
7269, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13
73 assalmod 16372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 AssAlg
7434, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 lmodgrp 15950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
78 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
796, 78sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . . 14
80 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
816, 80sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . . 14
82 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15
838, 82grpcl 14811 . . . . . . . . . . . . . 14
8477, 79, 81, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
85 elin 3523 . . . . . . . . . . . . 13
8672, 84, 85sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12
8786anassrs 630 . . . . . . . . . . 11
8887ralrimiva 2782 . . . . . . . . . 10
89 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13
90 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
9160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
92 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
936, 92sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . 13
948, 89, 40, 90, 91, 93rngnegl 15696 . . . . . . . . . . . 12
95 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13
96 rhmghm 15819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar RingHom Scalar
9738, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
98 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar Scalar
9945, 98, 90ghminv 15006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
10097, 47, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ScalarScalar Scalar
10142fveq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
102100, 101eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ScalarScalar
103 rnggrp 15662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar Scalar
10444, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
10545, 98grpinvcl 14843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
106104, 47, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ScalarScalar Scalar
107106, 50eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ScalarScalar
108 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ScalarScalar ScalarScalar
109108eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ScalarScalar ScalarScalar
110109rspcva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ScalarScalar ScalarScalar
111107, 53, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ScalarScalar
112102, 111eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
1141, 92sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . 13
115 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14
116115caovclg 6232 . . . . . . . . . . . . 13
11795, 113, 114, 116syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
11894, 117eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . 11
11976adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
1208, 90grpinvcl 14843 . . . . . . . . . . . 12
121119, 93, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
122 elin 3523 . . . . . . . . . . 11
123118, 121, 122sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10
12488, 123jca 519 . . . . . . . . 9
125124ralrimiva 2782 . . . . . . . 8
1268, 82, 90issubg2 14952 . . . . . . . . 9 SubGrp
12776, 126syl 16 . . . . . . . 8 SubGrp
12832, 66, 125, 127mpbir3and 1137 . . . . . . 7 SubGrp
1291sseli 3337 . . . . . . . . . . 11
1301sseli 3337 . . . . . . . . . . 11
131129, 130anim12i 550 . . . . . . . . . 10
132131, 115sylan2 461 . . . . . . . . 9
13360adantr 452 . . . . . . . . . 10
134 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
1356, 134sseldi 3339 . . . . . . . . . 10
136 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
1376, 136sseldi 3339 . . . . . . . . . 10
1388, 89rngcl 15670 . . . . . . . . . 10
139133, 135, 137, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
140 elin 3523 . . . . . . . . 9
141132, 139, 140sylanbrc 646 . . . . . . . 8
142141ralrimivva 2791 . . . . . . 7
1438, 40, 89issubrg2 15881 . . . . . . . 8 SubRing SubGrp
14460, 143syl 16 . . . . . . 7 SubRing SubGrp
145128, 64, 142, 144mpbir3and 1137 . . . . . 6 SubRing
1467, 2, 8mplval2 16488 . . . . . . . 8 mPwSer s
147146subsubrg 15887 . . . . . . 7 SubRing mPwSer SubRing SubRing mPwSer
148147simprbda 607 . . . . . 6 SubRing mPwSer SubRing SubRing mPwSer
14911, 145, 148syl2anc 643 . . . . 5 SubRing mPwSer
150 assalmod 16372 . . . . . . 7 mPwSer AssAlg mPwSer
1515, 150syl 16 . . . . . 6 mPwSer
1522, 7, 8, 3, 10mpllss 16494 . . . . . 6 mPwSer
15334adantr 452 . . . . . . . . . . 11 Scalar AssAlg
154 simprl 733 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
155 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
1566, 155sseldi 3339 . . . . . . . . . . 11 Scalar
157 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
15835, 36, 45, 8, 89, 157asclmul1 16391 . . . . . . . . . . 11 AssAlg Scalar
159153, 154, 156, 158syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 Scalar
16050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
161154, 160eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
16253adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
163 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15
164163eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14
165164rspcva 3043 . . . . . . . . . . . . 13
166161, 162, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
1671, 155sseldi 3339 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
168166, 167jca 519 . . . . . . . . . . 11 Scalar
169115caovclg 6232 . . . . . . . . . . 11
170168, 169syldan 457 . . . . . . . . . 10 Scalar
171159, 170eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9 Scalar
17274adantr 452 . . . . . . . . . 10 Scalar
1738, 36, 157, 45lmodvscl 15960 . . . . . . . . . 10 Scalar
174172, 154, 156, 173syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 Scalar
175 elin 3523 . . . . . . . . 9
176171, 174, 175sylanbrc 646 . . . . . . . 8 Scalar
177176ralrimivva 2791 . . . . . . 7 Scalar
178 eqid 2436 . . . . . . . . 9
17936, 45, 8, 157, 178islss4 16031 . . . . . . . 8 SubGrp Scalar
18074, 179syl 16 . . . . . . 7 SubGrp Scalar
181128, 177, 180mpbir2and 889 . . . . . 6
182 eqid 2436 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
183146, 182, 178lsslss 16030 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer mPwSer
184183simprbda 607 . . . . . 6 mPwSer mPwSer mPwSer
185151, 152, 181, 184syl21anc 1183 . . . . 5 mPwSer
18627, 12, 182aspid 16382 . . . . 5 mPwSer AssAlg SubRing mPwSer mPwSer AlgSpan mPwSer
1875, 149, 185, 186syl3anc 1184 . . . 4 AlgSpan mPwSer
18829, 31, 1873sstr3d 3383 . . 3
189 mplind.x . . 3
190188, 189sseldd 3342 . 2
1911, 190sseldi 3339 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2698  cvv 2949   cin 3312   wss 3313  c0 3621   crn 4872   wfn 5442  wf 5443  cfv 5447  (class class class)co 6074  cbs 13462   cplusg 13522  cmulr 13523  Scalarcsca 13525  cvsca 13526  cgrp 14678  cminusg 14679  SubGrpcsubg 14931   cghm 14996  crg 15653  ccrg 15654  cur 15655   RingHom crh 15810  SubRingcsubrg 15857  clmod 15943  clss 16001  AssAlgcasa 16362  AlgSpancasp 16363  algSccascl 16364   mPwSer cmps 16399   mVar cmvr 16400   mPoly cmpl 16401 This theorem is referenced by:  mpfind  19958 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-ofr 6299  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-cring 15657  df-ur 15658  df-rnghom 15812  df-subrg 15859  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-assa 16365  df-asp 16366  df-ascl 16367  df-psr 16410  df-mvr 16411  df-mpl 16412
 Copyright terms: Public domain W3C validator