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Theorem mplind 16555
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplind.sv  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplind.sy  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mplind.sp  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mplind.st  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mplind.sc  |-  C  =  (algSc `  Y )
mplind.sb  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mplind.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
mplind.t  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
mplind.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
mplind.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
mplind.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mplind.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
mplind.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplind  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, B, y    x, C, y    x, I    ph, x, y    x, H, y    x, K    x,  .x. , y    x, V   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    I( y)    K( y)    V( y)    X( x, y)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3554 . 2  |-  ( H  i^i  B )  C_  H
2 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mplind.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 mplind.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
52, 3, 4psrassa 16470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e. AssAlg )
6 inss2 3555 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  B )  C_  B
7 mplind.sy . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
8 mplind.sb . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 crngrng 15667 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 16496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
12 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
1312subrgss 15862 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
156, 14syl5ss 3352 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
16 mplind.sv . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( I mVar  R )
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 16545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
18 ffn 5584 . . . . . . . 8  |-  ( V : I --> B  ->  V  Fn  I )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
20 mplind.v . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
2120ralrimiva 2782 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  H )
22 fnfvrnss 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  H )  ->  ran  V  C_  H )
2319, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  H
)
24 frn 5590 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> B  ->  ran  V  C_  B )
2517, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  B
)
2623, 25ssind 3558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( H  i^i  B ) )
27 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) )  =  (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) )
2827, 12aspss 16384 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ran  V  C_  ( H  i^i  B
) )  ->  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ran  V )  C_  ( (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
295, 15, 26, 28syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  C_  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 16524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  (
Base `  Y )
)
3130, 8syl6eqr 2486 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  B )
326a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  B )
337mplassa 16510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e. AssAlg )
343, 4, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. AssAlg )
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  (algSc `  Y )
36 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
3735, 36asclrhm 16393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
3834, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
4139, 40rhm1 15824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  -> 
( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
4238, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
437, 3, 4mplsca 16501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
4443, 10eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Ring )
45 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
4645, 39rngidcl 15677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  R
)
4943fveq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5048, 49syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5147, 50eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K )
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
5352ralrimiva 2782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
54 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
) ) )
5554eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H ) )
5655rspcva 3043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H
)  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H )
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  e.  H )
5842, 57eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  H )
59 assarng 16373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  Ring )
6034, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
618, 40rngidcl 15677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  B )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  B )
63 elin 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( 1r
`  Y )  e.  H  /\  ( 1r
`  Y )  e.  B ) )
6458, 62, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
65 ne0i 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  ->  ( H  i^i  B )  =/=  (/) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  =/=  (/) )
671sseli 3337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( H  i^i  B )  ->  z  e.  H )
681sseli 3337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( H  i^i  B )  ->  w  e.  H )
6967, 68anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( H  i^i  B )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( z  e.  H  /\  w  e.  H
) )
70 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
7170caovclg 6232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( z  .+  w
)  e.  H )
7269, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  H )
73 assalmod 16372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  LMod )
7434, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
75 lmodgrp 15950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Grp )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
78 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B
) )
796, 78sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  B )
80 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B
) )
816, 80sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B )
82 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
838, 82grpcl 14811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
8477, 79, 81, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
85 elin 3523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z 
.+  w )  e.  H  /\  ( z 
.+  w )  e.  B ) )
8672, 84, 85sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8786anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B
) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8887ralrimiva 2782 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B ) )
89 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
90 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
9160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Ring )
92 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B ) )
936, 92sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  B )
948, 89, 40, 90, 91, 93rngnegl 15696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  =  ( ( inv g `  Y ) `  z
) )
95 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ph )
96 rhmghm 15819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
9738, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
98 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )
9945, 98, 90ghminv 15006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y )  /\  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10097, 47, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10142fveq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
102100, 101eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
103 rnggrp 15662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  Y )  e.  Grp )
10444, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Grp )
10545, 98grpinvcl 14843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Scalar `  Y )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
106104, 47, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
107106, 50eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K
)
108 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) ) )
109108eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  e.  H ) )
110109rspcva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
111107, 53, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
112102, 111eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H )
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  e.  H )
1141, 92sseldi 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  H )
115 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
116115caovclg 6232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H  /\  z  e.  H ) )  -> 
( ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  .x.  z )  e.  H
)
11795, 113, 114, 116syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  e.  H )
11894, 117eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  H )
11976adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Grp )
1208, 90grpinvcl 14843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B )
121119, 93, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  B )
122 elin 3523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( (
( inv g `  Y ) `  z
)  e.  H  /\  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B ) )
123118, 121, 122sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) )
12488, 123jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
125124ralrimiva 2782 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
1268, 82, 90issubg2 14952 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Grp  ->  (
( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12776, 126syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12832, 66, 125, 127mpbir3and 1137 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y ) )
1291sseli 3337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( H  i^i  B )  ->  x  e.  H )
1301sseli 3337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( H  i^i  B )  ->  y  e.  H )
131129, 130anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( H  i^i  B )  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )
132131, 115sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  H )
13360adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
134 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( H  i^i  B
) )
1356, 134sseldi 3339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B )
136 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  ( H  i^i  B
) )
1376, 136sseldi 3339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  B )
1388, 89rngcl 15670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
140 elin 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( x 
.x.  y )  e.  H  /\  ( x 
.x.  y )  e.  B ) )
141132, 139, 140sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) )
142141ralrimivva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x  .x.  y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
1438, 40, 89issubrg2 15881 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
14460, 143syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
145128, 64, 142, 144mpbir3and 1137 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  Y
) )
1467, 2, 8mplval2 16488 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
147146subsubrg 15887 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
148147simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
14911, 145, 148syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
150 assalmod 16372 . . . . . . 7  |-  ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1515, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1522, 7, 8, 3, 10mpllss 16494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
15334adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e. AssAlg )
154 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
155 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B ) )
1566, 155sseldi 3339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B
)
157 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
15835, 36, 45, 8, 89, 157asclmul1 16391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. AssAlg  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( ( C `  z )  .x.  w
)  =  ( z ( .s `  Y
) w ) )
159153, 154, 156, 158syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  =  ( z ( .s `  Y ) w ) )
16050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  K  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
161154, 160eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  K
)
16253adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
163 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( C `  x )  =  ( C `  z ) )
164163eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( C `  x
)  e.  H  <->  ( C `  z )  e.  H
) )
165164rspcva 3043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  z
)  e.  H )
166161, 162, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( C `  z )  e.  H
)
1671, 155sseldi 3339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  H
)
168166, 167jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )
169115caovclg 6232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( C `  z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( ( C `  z )  .x.  w
)  e.  H )
170168, 169syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  e.  H
)
171159, 170eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  H
)
17274adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
1738, 36, 157, 45lmodvscl 15960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( z ( .s
`  Y ) w )  e.  B )
174172, 154, 156, 173syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  B
)
175 elin 3523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z ( .s `  Y
) w )  e.  H  /\  ( z ( .s `  Y
) w )  e.  B ) )
176171, 174, 175sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
177176ralrimivva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
178 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
17936, 45, 8, 157, 178islss4 16031 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
18074, 179syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
181128, 177, 180mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  Y ) )
182 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )
183146, 182, 178lsslss 16030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
184183simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I mPwSer  R
)  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
185151, 152, 181, 184syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
18627, 12, 182aspid 16382 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  (
I mPwSer  R ) ) )  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
1875, 149, 185, 186syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
18829, 31, 1873sstr3d 3383 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( H  i^i  B ) )
189 mplind.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
190188, 189sseldd 3342 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( H  i^i  B ) )
1911, 190sseldi 3339 1  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698   _Vcvv 2949    i^i cin 3312    C_ wss 3313   (/)c0 3621   ran crn 4872    Fn wfn 5442   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462   +g cplusg 13522   .rcmulr 13523  Scalarcsca 13525   .scvsca 13526   Grpcgrp 14678   inv gcminusg 14679  SubGrpcsubg 14931    GrpHom cghm 14996   Ringcrg 15653   CRingccrg 15654   1rcur 15655   RingHom crh 15810  SubRingcsubrg 15857   LModclmod 15943   LSubSpclss 16001  AssAlgcasa 16362  AlgSpancasp 16363  algSccascl 16364   mPwSer cmps 16399   mVar cmvr 16400   mPoly cmpl 16401
This theorem is referenced by:  mpfind  19958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-ofr 6299  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-pm 7014  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-cring 15657  df-ur 15658  df-rnghom 15812  df-subrg 15859  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-assa 16365  df-asp 16366  df-ascl 16367  df-psr 16410  df-mvr 16411  df-mpl 16412
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