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Theorem mplind 16243
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplind.sv  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplind.sy  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mplind.sp  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mplind.st  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mplind.sc  |-  C  =  (algSc `  Y )
mplind.sb  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mplind.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
mplind.t  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
mplind.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
mplind.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
mplind.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mplind.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
mplind.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplind  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, B, y    x, C, y    x, I    ph, x, y    x, H, y    x, K    x,  .x. , y    x, V   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    I( y)    K( y)    V( y)    X( x, y)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . 2  |-  ( H  i^i  B )  C_  H
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mplind.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 mplind.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
52, 3, 4psrassa 16158 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e. AssAlg )
6 inss2 3390 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  B )  C_  B
7 mplind.sy . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
8 mplind.sb . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 crngrng 15351 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 16184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
12 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
1312subrgss 15546 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
1411, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
156, 14syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
16 mplind.sv . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( I mVar  R )
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 16233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
18 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( V : I --> B  ->  V  Fn  I )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
20 mplind.v . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
2120ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  H )
22 fnfvrnss 5687 . . . . . . 7  |-  ( ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  H )  ->  ran  V  C_  H )
2319, 21, 22syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  H
)
24 frn 5395 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> B  ->  ran  V  C_  B )
2517, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  B
)
2623, 25ssind 3393 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( H  i^i  B ) )
27 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) )  =  (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) )
2827, 12aspss 16072 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ran  V  C_  ( H  i^i  B
) )  ->  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ran  V )  C_  ( (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
295, 15, 26, 28syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  C_  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 16212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  (
Base `  Y )
)
3130, 8syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  B )
326a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  B )
337mplassa 16198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e. AssAlg )
343, 4, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. AssAlg )
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  (algSc `  Y )
36 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
3735, 36asclrhm 16081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
3834, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
39 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)
40 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
4139, 40rhm1 15508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  -> 
( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
4238, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
437, 3, 4mplsca 16189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
4443, 10eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Ring )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
4645, 39rngidcl 15361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
4744, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  R
)
4943fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5048, 49syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5147, 50eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K )
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
5352ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
54 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
) ) )
5554eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H ) )
5655rspcva 2882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H
)  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H )
5751, 53, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  e.  H )
5842, 57eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  H )
59 assarng 16061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  Ring )
6034, 59syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
618, 40rngidcl 15361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  B )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  B )
63 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( 1r
`  Y )  e.  H  /\  ( 1r
`  Y )  e.  B ) )
6458, 62, 63sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
65 ne0i 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  ->  ( H  i^i  B )  =/=  (/) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  =/=  (/) )
671sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( H  i^i  B )  ->  z  e.  H )
681sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( H  i^i  B )  ->  w  e.  H )
6967, 68anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( H  i^i  B )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( z  e.  H  /\  w  e.  H
) )
70 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
7170caovclg 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( z  .+  w
)  e.  H )
7269, 71sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  H )
73 assalmod 16060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  LMod )
7434, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
75 lmodgrp 15634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Grp )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
7776adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
78 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B
) )
796, 78sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  B )
80 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B
) )
816, 80sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B )
82 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
838, 82grpcl 14495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
8477, 79, 81, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
85 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z 
.+  w )  e.  H  /\  ( z 
.+  w )  e.  B ) )
8672, 84, 85sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8786anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B
) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8887ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B ) )
89 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
90 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
9160adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Ring )
92 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B ) )
936, 92sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  B )
948, 89, 40, 90, 91, 93rngnegl 15380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  =  ( ( inv g `  Y ) `  z
) )
95 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ph )
96 rhmghm 15503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
9738, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
98 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )
9945, 98, 90ghminv 14690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y )  /\  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10097, 47, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10142fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
102100, 101eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
103 rnggrp 15346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  Y )  e.  Grp )
10444, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Grp )
10545, 98grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Scalar `  Y )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
106104, 47, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
107106, 50eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K
)
108 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) ) )
109108eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  e.  H ) )
110109rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
111107, 53, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
112102, 111eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H )
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  e.  H )
1141, 92sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  H )
115 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
116115caovclg 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H  /\  z  e.  H ) )  -> 
( ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  .x.  z )  e.  H
)
11795, 113, 114, 116syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  e.  H )
11894, 117eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  H )
11976adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Grp )
1208, 90grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B )
121119, 93, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  B )
122 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( (
( inv g `  Y ) `  z
)  e.  H  /\  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B ) )
123118, 121, 122sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) )
12488, 123jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
125124ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
1268, 82, 90issubg2 14636 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Grp  ->  (
( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12776, 126syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12832, 66, 125, 127mpbir3and 1135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y ) )
1291sseli 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( H  i^i  B )  ->  x  e.  H )
1301sseli 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( H  i^i  B )  ->  y  e.  H )
131129, 130anim12i 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( H  i^i  B )  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )
132131, 115sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  H )
13360adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
134 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( H  i^i  B
) )
1356, 134sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B )
136 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  ( H  i^i  B
) )
1376, 136sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  B )
1388, 89rngcl 15354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
140 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( x 
.x.  y )  e.  H  /\  ( x 
.x.  y )  e.  B ) )
141132, 139, 140sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) )
142141ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x  .x.  y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
1438, 40, 89issubrg2 15565 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
14460, 143syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
145128, 64, 142, 144mpbir3and 1135 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  Y
) )
1467, 2, 8mplval2 16176 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
147146subsubrg 15571 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
148147simprbda 606 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
14911, 145, 148syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
150 assalmod 16060 . . . . . . 7  |-  ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1515, 150syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1522, 7, 8, 3, 10mpllss 16182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
15334adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e. AssAlg )
154 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
155 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B ) )
1566, 155sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B
)
157 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
15835, 36, 45, 8, 89, 157asclmul1 16079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. AssAlg  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( ( C `  z )  .x.  w
)  =  ( z ( .s `  Y
) w ) )
159153, 154, 156, 158syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  =  ( z ( .s `  Y ) w ) )
16050adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  K  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
161154, 160eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  K
)
16253adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
163 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( C `  x )  =  ( C `  z ) )
164163eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( C `  x
)  e.  H  <->  ( C `  z )  e.  H
) )
165164rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  z
)  e.  H )
166161, 162, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( C `  z )  e.  H
)
1671, 155sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  H
)
168166, 167jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )
169115caovclg 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( C `  z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( ( C `  z )  .x.  w
)  e.  H )
170168, 169syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  e.  H
)
171159, 170eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  H
)
17274adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
1738, 36, 157, 45lmodvscl 15644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( z ( .s
`  Y ) w )  e.  B )
174172, 154, 156, 173syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  B
)
175 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z ( .s `  Y
) w )  e.  H  /\  ( z ( .s `  Y
) w )  e.  B ) )
176171, 174, 175sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
177176ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
178 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
17936, 45, 8, 157, 178islss4 15719 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
18074, 179syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
181128, 177, 180mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  Y ) )
182 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )
183146, 182, 178lsslss 15718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
184183simprbda 606 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I mPwSer  R
)  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
185151, 152, 181, 184syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
18627, 12, 182aspid 16070 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  (
I mPwSer  R ) ) )  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
1875, 149, 185, 186syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
18829, 31, 1873sstr3d 3220 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( H  i^i  B ) )
189 mplind.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
190188, 189sseldd 3181 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( H  i^i  B ) )
1911, 190sseldi 3178 1  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615    GrpHom cghm 14680   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339   RingHom crh 15494  SubRingcsubrg 15541   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689  AssAlgcasa 16050  AlgSpancasp 16051  algSccascl 16052   mPwSer cmps 16087   mVar cmvr 16088   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mpfind  19428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100
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