Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllsslem Structured version   Unicode version

Theorem mpllsslem 16491
 Description: If is an ideal of subsets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set of finite bags (the primary applications being and for some ), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of is a linear subspace of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s mPwSer
mplsubglem.b
mplsubglem.z
mplsubglem.d
mplsubglem.i
mplsubglem.0
mplsubglem.a
mplsubglem.y
mplsubglem.u
mpllsslem.r
Assertion
Ref Expression
mpllsslem
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem mpllsslem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.s . . 3 mPwSer
2 mplsubglem.i . . 3
3 mpllsslem.r . . 3
41, 2, 3psrsca 16445 . 2 Scalar
5 eqidd 2436 . 2
6 mplsubglem.b . . 3
76a1i 11 . 2
8 eqidd 2436 . 2
9 eqidd 2436 . 2
10 eqidd 2436 . 2
11 mplsubglem.z . . . 4
12 mplsubglem.d . . . 4
13 mplsubglem.0 . . . 4
14 mplsubglem.a . . . 4
15 mplsubglem.y . . . 4
16 mplsubglem.u . . . 4
17 rnggrp 15661 . . . . 5
183, 17syl 16 . . . 4
191, 6, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 16, 18mplsubglem 16490 . . 3 SubGrp
206subgss 14937 . . 3 SubGrp
2119, 20syl 16 . 2
22 eqid 2435 . . . 4
2322subg0cl 14944 . . 3 SubGrp
24 ne0i 3626 . . 3
2519, 23, 243syl 19 . 2
2619adantr 452 . . 3 SubGrp
27 eqid 2435 . . . . . 6
28 eqid 2435 . . . . . 6
293adantr 452 . . . . . 6
30 simprl 733 . . . . . 6
31 simprr 734 . . . . . . . 8
3216adantr 452 . . . . . . . . . 10
3332eleq2d 2502 . . . . . . . . 9
34 cnveq 5038 . . . . . . . . . . . 12
3534imaeq1d 5194 . . . . . . . . . . 11
3635eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10
3736elrab 3084 . . . . . . . . 9
3833, 37syl6bb 253 . . . . . . . 8
3931, 38mpbid 202 . . . . . . 7
4039simpld 446 . . . . . 6
411, 27, 28, 6, 29, 30, 40psrvscacl 16449 . . . . 5
4239simprd 450 . . . . . . 7
431, 28, 12, 6, 41psrelbas 16436 . . . . . . . 8
44 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
4530adantr 452 . . . . . . . . . 10
4640adantr 452 . . . . . . . . . 10
47 eldifi 3461 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 453 . . . . . . . . . 10
491, 27, 28, 6, 44, 12, 45, 46, 48psrvscaval 16448 . . . . . . . . 9
501, 28, 12, 6, 40psrelbas 16436 . . . . . . . . . . 11
51 ssid 3359 . . . . . . . . . . . 12
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5350, 52suppssr 5856 . . . . . . . . . 10
5453oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
5528, 44, 11rngrz 15693 . . . . . . . . . . 11
5629, 30, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
5756adantr 452 . . . . . . . . 9
5849, 54, 573eqtrd 2471 . . . . . . . 8
5943, 58suppss 5855 . . . . . . 7
6042, 59ssexd 4342 . . . . . 6
6115expr 599 . . . . . . . . . 10
6261alrimiv 1641 . . . . . . . . 9
6362ralrimiva 2781 . . . . . . . 8
6463adantr 452 . . . . . . 7
65 sseq2 3362 . . . . . . . . . 10
6665imbi1d 309 . . . . . . . . 9
6766albidv 1635 . . . . . . . 8
6867rspcv 3040 . . . . . . 7
6942, 64, 68sylc 58 . . . . . 6
70 sseq1 3361 . . . . . . . 8
71 eleq1 2495 . . . . . . . 8
7270, 71imbi12d 312 . . . . . . 7
7372spcgv 3028 . . . . . 6
7460, 69, 59, 73syl3c 59 . . . . 5
7532eleq2d 2502 . . . . . 6
76 cnveq 5038 . . . . . . . . 9
7776imaeq1d 5194 . . . . . . . 8
7877eleq1d 2501 . . . . . . 7
7978elrab 3084 . . . . . 6
8075, 79syl6bb 253 . . . . 5
8141, 74, 80mpbir2and 889 . . . 4
82813adantr3 1118 . . 3
83 simpr3 965 . . 3
84 eqid 2435 . . . 4
8584subgcl 14946 . . 3 SubGrp
8626, 82, 83, 85syl3anc 1184 . 2
874, 5, 7, 8, 9, 10, 21, 25, 86islssd 16004 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  c0 3620  csn 3806  ccnv 4869  cima 4873  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  cfn 7101  cn 9992  cn0 10213  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  cvsca 13525  c0g 13715  cgrp 14677  SubGrpcsubg 14930  crg 15652  clss 16000   mPwSer cmps 16398 This theorem is referenced by:  mpllss  16493 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-lss 16001  df-psr 16409
 Copyright terms: Public domain W3C validator