MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon Unicode version

Theorem mplmon 16453
Description: A monomial is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmon  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon
StepHypRef Expression
1 mplmon.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplmon.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 15611 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 mplmon.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 15612 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
7 ifcl 3718 . . . . . . . 8  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
84, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
91, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
11 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
1210, 11fmptd 5832 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
13 fvex 5682 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
14 mplmon.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
15 ovex 6045 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4295 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1714, 16eqeltri 2457 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1813, 17elmap 6978 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1912, 18sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
20 eqid 2387 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
21 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
22 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2320, 2, 14, 21, 22psrbas 16370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
2419, 23eleqtrrd 2464 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
25 snfi 7123 . . 3  |-  { X }  e.  Fin
26 eldifsni 3871 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
2726adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
2827neneqd 2566 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
29 iffalse 3689 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3130suppss2 6239 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  { X }
)
32 ssfi 7265 . . 3  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
3325, 31, 32sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
34 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
35 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3634, 20, 21, 5, 35mplelbas 16421 . 2  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
3724, 33, 36sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   {crab 2653   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   ifcif 3682   {csn 3757    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^m cmap 6954   Fincfn 7045   NNcn 9932   NN0cn0 10153   Basecbs 13396   0gc0g 13650   Ringcrg 15587   1rcur 15589   mPwSer cmps 16333   mPoly cmpl 16335
This theorem is referenced by:  mplmonmul  16454  mplcoe1  16455  mplbas2  16458  mplmon2  16480  mplmon2cl  16487  mplmon2mul  16488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-psr 16344  df-mpl 16346
  Copyright terms: Public domain W3C validator