MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon Structured version   Unicode version

Theorem mplmon 16518
Description: A monomial is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmon  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon
StepHypRef Expression
1 mplmon.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplmon.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 15676 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 mplmon.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 15677 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
7 ifcl 3767 . . . . . . . 8  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
84, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
91, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
11 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
1210, 11fmptd 5885 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
13 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
14 mplmon.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
15 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4346 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1714, 16eqeltri 2505 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1813, 17elmap 7034 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1912, 18sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
20 eqid 2435 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
21 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
22 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2320, 2, 14, 21, 22psrbas 16435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
2419, 23eleqtrrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
25 snfi 7179 . . 3  |-  { X }  e.  Fin
26 eldifsni 3920 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
2726adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
2827neneqd 2614 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
29 iffalse 3738 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3130suppss2 6292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  { X }
)
32 ssfi 7321 . . 3  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
3325, 31, 32sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
34 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
35 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3634, 20, 21, 5, 35mplelbas 16486 . 2  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
3724, 33, 36sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Ringcrg 15652   1rcur 15654   mPwSer cmps 16398   mPoly cmpl 16400
This theorem is referenced by:  mplmonmul  16519  mplcoe1  16520  mplbas2  16523  mplmon2  16545  mplmon2cl  16552  mplmon2mul  16553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-psr 16409  df-mpl 16411
  Copyright terms: Public domain W3C validator