MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Unicode version

Theorem mplmon2 16234
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon2.v  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mplmon2.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mplmon2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
mplmon2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplmon2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    y, B    y, D    f, I    f, K, y    y,  .1.    y, R    y, X    y,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y, f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon2.v . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
3 mplmon2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 mplmon2.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 mplmon2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 mplmon2.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mplmon2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 mplmon2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 mplmon2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 mplmon2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 16207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  P )
)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 16191 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( D  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
15 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4165 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
176, 16eqeltri 2353 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1817a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
197adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
20 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
219, 20eqeltri 2353 . . . . 5  |-  .1.  e.  _V
22 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
238, 22eqeltri 2353 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
2421, 23ifex 3623 . . . 4  |-  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  e. 
_V
2524a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V )
26 fconstmpt 4732 . . . 4  |-  ( D  X.  { X }
)  =  ( y  e.  D  |->  X )
2726a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { X } )  =  ( y  e.  D  |->  X ) )
28 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
2918, 19, 25, 27, 28offval2 6095 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( X ( .r `  R
) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
30 oveq2 5866 . . . . 5  |-  (  .1.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
3130eqeq1d 2291 . . . 4  |-  (  .1.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  (
( X ( .r
`  R )  .1.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  <->  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
32 oveq2 5866 . . . . 5  |-  (  .0.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
3332eqeq1d 2291 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  (
( X ( .r
`  R )  .0.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  <->  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
343, 5, 9rngridm 15365 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  X )
3511, 7, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R )  .1.  )  =  X )
36 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( y  =  K  ->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  =  X )
3736eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( y  =  K  ->  X  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
3835, 37sylan9eq 2335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  K )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
393, 5, 8rngrz 15378 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
4011, 7, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
41 iffalse 3572 . . . . . 6  |-  ( -.  y  =  K  ->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  =  .0.  )
4241eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  K  ->  .0.  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4340, 42sylan9eq 2335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  y  =  K )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4431, 33, 38, 43ifbothda 3595 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4544mpteq2dv 4107 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  ( X ( .r
`  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
4614, 29, 453eqtrd 2319 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   .scvsca 13212   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   1rcur 15339   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mplascl  16237  mplmon2cl  16241  mplmon2mul  16242  mplcoe4  16244  coe1tm  16349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-psr 16098  df-mpl 16100
  Copyright terms: Public domain W3C validator