MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Unicode version

Theorem mplmon2 16250
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon2.v  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mplmon2.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mplmon2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
mplmon2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplmon2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    y, B    y, D    f, I    f, K, y    y,  .1.    y, R    y, X    y,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y, f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon2.v . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
3 mplmon2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5 eqid 2296 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 mplmon2.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 mplmon2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 mplmon2.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mplmon2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 mplmon2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 mplmon2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 mplmon2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 16223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  P )
)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 16207 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( D  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
15 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4181 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
176, 16eqeltri 2366 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1817a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
197adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
20 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
219, 20eqeltri 2366 . . . . 5  |-  .1.  e.  _V
22 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
238, 22eqeltri 2366 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
2421, 23ifex 3636 . . . 4  |-  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  e. 
_V
2524a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V )
26 fconstmpt 4748 . . . 4  |-  ( D  X.  { X }
)  =  ( y  e.  D  |->  X )
2726a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { X } )  =  ( y  e.  D  |->  X ) )
28 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
2918, 19, 25, 27, 28offval2 6111 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( X ( .r `  R
) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
30 oveq2 5882 . . . . 5  |-  (  .1.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
3130eqeq1d 2304 . . . 4  |-  (  .1.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  (
( X ( .r
`  R )  .1.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  <->  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
32 oveq2 5882 . . . . 5  |-  (  .0.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
3332eqeq1d 2304 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  (
( X ( .r
`  R )  .0.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  <->  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
343, 5, 9rngridm 15381 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  X )
3511, 7, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R )  .1.  )  =  X )
36 iftrue 3584 . . . . . 6  |-  ( y  =  K  ->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  =  X )
3736eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( y  =  K  ->  X  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
3835, 37sylan9eq 2348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  K )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
393, 5, 8rngrz 15394 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
4011, 7, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
41 iffalse 3585 . . . . . 6  |-  ( -.  y  =  K  ->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  =  .0.  )
4241eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  K  ->  .0.  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4340, 42sylan9eq 2348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  y  =  K )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4431, 33, 38, 43ifbothda 3608 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4544mpteq2dv 4123 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  ( X ( .r
`  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
4614, 29, 453eqtrd 2332 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801   ifcif 3578   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   .scvsca 13228   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   1rcur 15355   mPoly cmpl 16105
This theorem is referenced by:  mplascl  16253  mplmon2cl  16257  mplmon2mul  16258  mplcoe4  16260  coe1tm  16365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-psr 16114  df-mpl 16116
  Copyright terms: Public domain W3C validator