MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2cl Structured version   Unicode version

Theorem mplmon2cl 16552
Description: A scaled monomial is a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2cl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon2cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon2cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon2cl.c  |-  C  =  ( Base `  R
)
mplmon2cl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon2cl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon2cl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon2cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  C )
mplmon2cl.k  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmon2cl  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )  e.  B
)
Distinct variable groups:    ph, y    y, C    y, D    f, I    f, K, y    y, R   
y, X    y,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    C( f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    I( y)    W( y, f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon2cl
StepHypRef Expression
1 mplmon2cl.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
3 mplmon2cl.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
5 mplmon2cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 mplmon2cl.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  R
)
7 mplmon2cl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
8 mplmon2cl.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 mplmon2cl.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
10 mplmon2cl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  C )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mplmon2 16545 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .s
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
121mpllmod 16506 . . . 4  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
137, 8, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
141, 7, 8mplsca 16500 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
1514fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
166, 15syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
1710, 16eleqtrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
18 mplmon2cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
191, 18, 5, 4, 3, 7, 8, 9mplmon 16518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) )  e.  B )
20 eqid 2435 . . . 4  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
21 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
2218, 20, 2, 21lmodvscl 15959 . . 3  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  ( 1r
`  R ) ,  .0.  ) )  e.  B )  ->  ( X ( .s `  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K , 
( 1r `  R
) ,  .0.  )
) )  e.  B
)
2313, 17, 19, 22syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .s
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
2411, 23eqeltrrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   ifcif 3731    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   Ringcrg 15652   1rcur 15654   LModclmod 15942   mPoly cmpl 16400
This theorem is referenced by:  evlslem2  16560  evlslem3  19927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-psr 16409  df-mpl 16411
  Copyright terms: Public domain W3C validator