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Theorem mplmonmul 16208
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 16207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 16207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 16187 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  o F  +  Y
)  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
1615ifbid 3583 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4111 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1918snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
20 resmpt 5000 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
239ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
24 rngmnd 15350 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2523, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2610ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  D )
27 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
29 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
307, 29eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3127, 28, 30fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3226, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
33 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
C_  D
348ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
35 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
36 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
375, 36psrbagconcl 16119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3834, 35, 18, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3933, 38sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e.  D )
40 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  o F  -  X )  =  Y ) )
4140ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
43 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
446, 43eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4530, 44ifex 3623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4641, 42, 45fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  o F  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4739, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4832, 47oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
49 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5049, 7rngidcl 15361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 6rng0cl 15362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
52 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5350, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5423, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5549, 3, 7rnglidm 15364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5623, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
575psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5834, 35, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
59 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
6058, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
618adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
6210adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
635psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
65 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z
)  e.  NN0 )
6664, 65sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6766adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
685psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
698, 12, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
71 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z
)  e.  NN0 )
7270, 71sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
7372adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
74 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
75 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
76 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
77 subadd 9054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7874, 75, 76, 77syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7960, 67, 73, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
80 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
8179, 80syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
8281ralbidva 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
83 mpteqb 5614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
84 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8584a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8683, 85mprg 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
87 mpteqb 5614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
88 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
9087, 89mprg 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
9182, 86, 903bitr4g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
9258feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
9364feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9534, 60, 67, 92, 94offval2 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9670feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9895, 97eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9961, 66, 72, 93, 96offval2 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o F  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( X  o F  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
10192, 100eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  =  ( X  o F  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
10291, 98, 1013bitr4d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
103102ifbid 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10448, 56, 1033eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
105103, 54eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
106104, 105eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
107 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
108 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  o F  -  j )  =  ( k  o F  -  X ) )
109108fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )
110107, 109oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11149, 110gsumsn 15220 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11225, 26, 106, 111syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11322, 112, 1043eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1146gsum0 14457 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
115 disjsn 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1169ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1171, 49, 2, 5, 11mplelf 16178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
118117ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
119 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
12033, 119sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  D )
121 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )  /\  j  e.  D
)  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
122118, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1231, 49, 2, 5, 13mplelf 16178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
124123ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1258ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
126 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
1275, 36psrbagconcl 16119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
128125, 126, 119, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
12933, 128sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e.  D )
130 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )  /\  ( k  o F  -  j )  e.  D )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
131124, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
13249, 3rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
133116, 122, 131, 132syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
134 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )
135133, 134fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
136 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
137 fnresdisj 5354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
138135, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
139138biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
140115, 139sylan2br 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
141140oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
14266nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
143 nn0addge1 10010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
144142, 72, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
145144ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
146 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
147146a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14861, 66, 147, 93, 99ofrfval2 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
149145, 148mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) )
150 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o R  <_ 
( X  o F  +  Y )  <->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
151150elrab 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
15262, 149, 151sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y ) } )
153 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( x  o R  <_  k  <->  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
154153rabbidv 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } )
155154eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } ) )
156152, 155syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } ) )
157156con3and 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  o F  +  Y )
)
158 iffalse 3572 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
159157, 158syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
160114, 141, 1593eqtr4a 2341 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
161113, 160pm2.61dan 766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1629adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
163 rngcmn 15371 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
164162, 163syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1655psrbaglefi 16118 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
1668, 165sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
167 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16833, 167ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
169168sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
170117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
171 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
172171adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
173172neneqd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
174 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
176175suppss2 6073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
177170, 176suppssr 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
178169, 177sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
179178oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )
180 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
18149, 3, 6rnglz 15377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
182116, 131, 181syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
183180, 182sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
184179, 183eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
185184suppss2 6073 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
186 snfi 6941 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
187 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
188186, 185, 187sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
18949, 6, 164, 166, 135, 185, 188gsumres 15197 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
190161, 189eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
191190mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
19217, 191syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
19314, 192eqtr4d 2318 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   1rcur 15339   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mplcoe3  16210  mplcoe2  16211  mplmon2mul  16242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-psr 16098  df-mpl 16100
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