MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplrcl Unicode version

Theorem mplrcl 16231
Description: Reverse closure for the polynomial index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplrcl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplrcl  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )

Proof of Theorem mplrcl
StepHypRef Expression
1 noel 3459 . . 3  |-  -.  X  e.  (/)
2 mplrcl.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 reldmmpl 16172 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom mPoly
43ovprc1 5886 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  (/) )
52, 4syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  P  =  (/) )
65fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  P )  =  ( Base `  (/) ) )
7 mplrcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 base0 13185 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
96, 7, 83eqtr4g 2340 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
109eleq2d 2350 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  (/) ) )
111, 10mtbiri 294 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  X  e.  B )
1211con4i 122 1  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mdegleb  19450  mdeglt  19451  mdegldg  19452  mdegxrcl  19453  mdegcl  19455  mdegnn0cl  19457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-slot 13152  df-base 13153  df-mpl 16100
  Copyright terms: Public domain W3C validator