MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubg Unicode version

Theorem mplsubg 16181
Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplsubg.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
mplsubg  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )

Proof of Theorem mplsubg
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2283 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2283 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 eqid 2283 . 2  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 mplsubg.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 0fin 7087 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
76a1i 10 . 2  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Fin )
8 unfi 7124 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
98adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  e. 
Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
10 ssfi 7083 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )
1110adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  Fin )
12 mplsubg.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
13 mplsubg.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
1412, 1, 2, 3, 13mplbas 16174 . . 3  |-  U  =  { g  e.  (
Base `  S )  |  ( `' g
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin }
1514a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  ( Base `  S
)  |  ( `' g " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin } )
16 mplsubg.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
171, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 16mplsubglem 16179 1  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615   mPwSer cmps 16087   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mplsubrg  16184  mpl0  16185  mplgrp  16194
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-psr 16098  df-mpl 16100
  Copyright terms: Public domain W3C validator