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Theorem mplsubglem 16179
Description: If  A is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set  D of finite bags (the primary applications being  A  =  Fin and  A  =  ~P B for some  B), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of  A is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubglem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplsubglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubglem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplsubglem.0  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
mplsubglem.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  A )
mplsubglem.y  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  A )
mplsubglem.u  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A } )
mplsubglem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
mplsubglem  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y,  .0.    A, f, g, x, y    B, f, g    D, g    f, I    ph, x, y    S, f, g, y
Allowed substitution hints:    ph( f, g)    B( x, y)    D( x, y, f)    R( x, y, f, g)    S( x)    U( x, y, f, g)    I( x, y, g)    W( x, y, f, g)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A } )
2 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A }  C_  B
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  { g  e.  B  |  ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A }  C_  B )
41, 3eqsstrd 3212 . 2  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
5 mplsubglem.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
6 mplsubglem.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
7 mplsubglem.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
8 mplsubglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
9 mplsubglem.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
10 mplsubglem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
115, 6, 7, 8, 9, 10psr0cl 16139 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  B
)
12 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1312, 9grpidcl 14510 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
14 fconst6g 5430 . . . . . . . 8  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R ) )
157, 13, 143syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R )
)
16 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( D  \  (/) )  ->  u  e.  D )
17 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
189, 17eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
1918fvconst2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  D  ->  (
( D  X.  {  .0.  } ) `  u
)  =  .0.  )
2016, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( D  \  (/) )  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) `  u )  =  .0.  )
2120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( D  \  (/) ) )  ->  ( ( D  X.  {  .0.  }
) `  u )  =  .0.  )
2215, 21suppss 5658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( D  X.  {  .0.  }
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (/) )
23 ss0 3485 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( D  X.  {  .0.  } ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  (/) 
->  ( `' ( D  X.  {  .0.  }
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  (/) )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( D  X.  {  .0.  }
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  (/) )
25 mplsubglem.0 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
2624, 25eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( D  X.  {  .0.  }
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
)
271eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  <->  ( D  X.  {  .0.  } )  e. 
{ g  e.  B  |  ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A } ) )
28 cnveq 4855 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( D  X.  {  .0.  } )  ->  `' g  =  `' ( D  X.  {  .0.  } ) )
2928imaeq1d 5011 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( D  X.  {  .0.  } )  -> 
( `' g "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( D  X.  {  .0.  }
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
3029eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( D  X.  {  .0.  } )  -> 
( ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A  <->  ( `' ( D  X.  {  .0.  } ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
3130elrab 2923 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A } 
<->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  B  /\  ( `' ( D  X.  {  .0.  } ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
3227, 31syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  <->  ( ( D  X.  {  .0.  }
)  e.  B  /\  ( `' ( D  X.  {  .0.  } ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) ) )
3311, 26, 32mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U
)
34 ne0i 3461 . . 3  |-  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
3533, 34syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
36 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
377ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
381eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  <->  u  e.  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A } ) )
39 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  u  ->  `' g  =  `' u
)
4039imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  u  ->  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
4140eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  u  ->  (
( `' g "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A  <->  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) )
4241elrab 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A } 
<->  ( u  e.  B  /\  ( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) )
4338, 42syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  <->  ( u  e.  B  /\  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
) ) )
4443biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
u  e.  B  /\  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
4544simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  B )
4645adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u  e.  B )
471adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A } )
4847eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
v  e.  U  <->  v  e.  { g  e.  B  | 
( `' g "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A } ) )
49 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  v  ->  `' g  =  `' v
)
5049imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  v  ->  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
5150eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  v  ->  (
( `' g "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A  <->  ( `' v
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) )
5251elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A } 
<->  ( v  e.  B  /\  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) )
5348, 52syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
v  e.  U  <->  ( v  e.  B  /\  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A
) ) )
5453biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
v  e.  B  /\  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
5554simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  B )
565, 10, 36, 37, 46, 55psraddcl 16128 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  e.  B )
575, 12, 8, 10, 56psrelbas 16125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v ) : D --> ( Base `  R
) )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
595, 10, 58, 36, 46, 55psradd 16127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  =  ( u  o F ( +g  `  R
) v ) )
6059fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) `
 k )  =  ( ( u  o F ( +g  `  R
) v ) `  k ) )
6160adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) `
 k )  =  ( ( u  o F ( +g  `  R
) v ) `  k ) )
62 eldifi 3298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  k  e.  D )
635, 12, 8, 10, 45psrelbas 16125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  u : D --> ( Base `  R
) )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u : D --> ( Base `  R
) )
65 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u : D --> ( Base `  R )  ->  u  Fn  D )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  u  Fn  D )
675, 12, 8, 10, 55psrelbas 16125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v : D --> ( Base `  R
) )
68 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v : D --> ( Base `  R )  ->  v  Fn  D )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  v  Fn  D )
70 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
7170rabex 4165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
728, 71eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  D  e.  _V )
74 inidm 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  i^i  D )  =  D
75 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
u `  k )  =  ( u `  k ) )
76 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
v `  k )  =  ( v `  k ) )
7766, 69, 73, 73, 74, 75, 76ofval 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  D )  ->  (
( u  o F ( +g  `  R
) v ) `  k )  =  ( ( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) ) )
7862, 77sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (
( u  o F ( +g  `  R
) v ) `  k )  =  ( ( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) ) )
79 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
80 sscon 3310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( D  \ 
( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  C_  ( D  \  ( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D 
\  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) ) 
C_  ( D  \ 
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
8281sseli 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
83 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
8483a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
8563, 84suppssr 5659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( u `  k )  =  .0.  )
8685adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( u `  k )  =  .0.  )
8782, 86sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (
u `  k )  =  .0.  )
88 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' v " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
89 sscon 3310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( D  \ 
( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  C_  ( D  \  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
9088, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D 
\  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) ) 
C_  ( D  \ 
( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
9190sseli 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  k  e.  ( D  \  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
92 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' v " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) )
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
9467, 93suppssr 5659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( v `  k )  =  .0.  )
9591, 94sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (
v `  k )  =  .0.  )
9687, 95oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (
( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  )
)
9712, 58, 9grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
9813, 97mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Grp  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
9937, 98syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
10196, 100eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (
( u `  k
) ( +g  `  R
) ( v `  k ) )  =  .0.  )
10261, 78, 1013eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U
)  /\  k  e.  ( D  \  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v ) `
 k )  =  .0.  )
10357, 102suppss 5658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  ( `' ( u ( +g  `  S ) v ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
10444simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
)
105104adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
)
10654simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A
)
107 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  A )
108107ralrimivva 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  u.  y
)  e.  A )
109108ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  u.  y )  e.  A
)
110 uneq1 3322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( x  u.  y
)  =  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  y
) )
111110eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( x  u.  y )  e.  A  <->  ( ( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  y )  e.  A
) )
112 uneq2 3323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' v
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  y
)  =  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
113112eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' v
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  y
)  e.  A  <->  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  e.  A ) )
114111, 113rspc2va 2891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A  /\  ( `' v " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  u.  y )  e.  A
)  ->  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  e.  A )
115105, 106, 109, 114syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  A )
116 ssexg 4160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  /\  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  e.  A )  ->  ( `' ( u ( +g  `  S ) v ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  _V )
117103, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  ( `' ( u ( +g  `  S ) v ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  _V )
118 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  A )
119118expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
120119alrimiv 1617 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
121120ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A
) )
122121ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
123 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( y  C_  x  <->  y 
C_  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) ) )
124123imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( ( y  C_  x  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  C_  ( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  A
) ) )
125124albidv 1611 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  A
) ) )
126125rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A
)  ->  A. y
( y  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  A
) ) )
127115, 122, 126sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  A. y
( y  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  A
) )
128 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y  C_  (
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <-> 
( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
129 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y  e.  A  <->  ( `' ( u ( +g  `  S ) v ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
130128, 129imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  C_  ( ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  u.  ( `' v "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  A
)  <->  ( ( `' ( u ( +g  `  S ) v )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) ) )
131130spcgv 2868 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( u ( +g  `  S ) v ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  _V  ->  ( A. y ( y  C_  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
y  e.  A )  ->  ( ( `' ( u ( +g  `  S ) v )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  u.  ( `' v " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) ) )
132117, 127, 103, 131syl3c 57 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  ( `' ( u ( +g  `  S ) v ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A
)
1331ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  U  =  { g  e.  B  |  ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A } )
134133eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  <->  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  {
g  e.  B  | 
( `' g "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A } ) )
135 cnveq 4855 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( u ( +g  `  S ) v )  ->  `' g  =  `' (
u ( +g  `  S
) v ) )
136135imaeq1d 5011 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( u ( +g  `  S ) v )  ->  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( u ( +g  `  S ) v ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
137136eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( u ( +g  `  S ) v )  ->  (
( `' g "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A  <->  ( `' ( u ( +g  `  S
) v ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) )
138137elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( u ( +g  `  S
) v )  e. 
{ g  e.  B  |  ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A }  <->  ( (
u ( +g  `  S
) v )  e.  B  /\  ( `' ( u ( +g  `  S ) v )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) )
139134, 138syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  <->  ( (
u ( +g  `  S
) v )  e.  B  /\  ( `' ( u ( +g  `  S ) v )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) ) )
14056, 132, 139mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  ->  (
u ( +g  `  S
) v )  e.  U )
141140ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. v  e.  U  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  U
)
1425, 6, 7psrgrp 16143 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
143 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  S )  =  ( inv g `  S )
14410, 143grpinvcl 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( inv g `  S ) `  u
)  e.  B )
145142, 144sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( inv g `  S ) `  u
)  e.  B )
14645, 145syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( inv g `  S ) `  u
)  e.  B )
1475, 12, 8, 10, 146psrelbas 16125 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( inv g `  S ) `  u
) : D --> ( Base `  R ) )
1486adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  I  e.  W )
1497adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
150 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
1515, 148, 149, 8, 150, 10, 143, 45psrneg 16145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( inv g `  S ) `  u
)  =  ( ( inv g `  R
)  o.  u ) )
152151adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( inv g `  S ) `
 u )  =  ( ( inv g `  R )  o.  u
) )
153152fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( ( inv g `  S
) `  u ) `  k )  =  ( ( ( inv g `  R )  o.  u
) `  k )
)
154 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( `' u "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  k  e.  D
)
155 fvco3 5596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u : D --> ( Base `  R )  /\  k  e.  D )  ->  (
( ( inv g `  R )  o.  u
) `  k )  =  ( ( inv g `  R ) `
 ( u `  k ) ) )
15663, 154, 155syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( ( inv g `  R
)  o.  u ) `
 k )  =  ( ( inv g `  R ) `  (
u `  k )
) )
15785fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 ( u `  k ) )  =  ( ( inv g `  R ) `  .0.  ) )
1589, 150grpinvid 14533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
( inv g `  R ) `  .0.  )  =  .0.  )
159149, 158syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( inv g `  R ) `  .0.  )  =  .0.  )
160159adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 .0.  )  =  .0.  )
161157, 160eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 ( u `  k ) )  =  .0.  )
162153, 156, 1613eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  U )  /\  k  e.  ( D  \  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( ( inv g `  S
) `  u ) `  k )  =  .0.  )
163147, 162suppss 5658 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( `' ( ( inv g `  S ) `
 u ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
164 ssexg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( ( inv g `  S
) `  u ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
)  ->  ( `' ( ( inv g `  S ) `  u
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  _V )
165163, 104, 164syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( `' ( ( inv g `  S ) `
 u ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
_V )
166121adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. x  e.  A  A. y
( y  C_  x  ->  y  e.  A ) )
167 sseq2 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y  C_  x  <->  y 
C_  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
168167imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  C_  x  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  y  e.  A ) ) )
169168albidv 1611 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  y  e.  A ) ) )
170169rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y ( y  C_  x  ->  y  e.  A )  ->  A. y ( y  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  y  e.  A ) ) )
171104, 166, 170sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  A. y
( y  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  y  e.  A ) )
172 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( `' ( ( inv g `  S ) `  u
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
y  C_  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  <-> 
( `' ( ( inv g `  S
) `  u ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
173 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( `' ( ( inv g `  S ) `  u
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
y  e.  A  <->  ( `' ( ( inv g `  S ) `  u
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
174172, 173imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( `' ( ( inv g `  S ) `  u
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( y  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  y  e.  A )  <->  ( ( `' ( ( inv g `  S ) `
 u ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( `' ( ( inv g `  S ) `
 u ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) ) )
175174spcgv 2868 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( ( inv g `  S ) `
 u ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
_V  ->  ( A. y
( y  C_  ( `' u " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  y  e.  A )  ->  (
( `' ( ( inv g `  S
) `  u ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' u " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' ( ( inv g `  S
) `  u ) " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) ) )
176165, 171, 163, 175syl3c 57 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( `' ( ( inv g `  S ) `
 u ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A )
17747eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( inv g `  S ) `  u
)  e.  U  <->  ( ( inv g `  S ) `
 u )  e. 
{ g  e.  B  |  ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A } ) )
178 cnveq 4855 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( ( inv g `  S ) `
 u )  ->  `' g  =  `' ( ( inv g `  S ) `  u
) )
179178imaeq1d 5011 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( ( inv g `  S ) `
 u )  -> 
( `' g "
( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( ( inv g `  S
) `  u ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
180179eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( ( inv g `  S ) `
 u )  -> 
( ( `' g
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A  <->  ( `' ( ( inv g `  S ) `  u
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
181180elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  S ) `  u
)  e.  { g  e.  B  |  ( `' g " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  A } 
<->  ( ( ( inv g `  S ) `
 u )  e.  B  /\  ( `' ( ( inv g `  S ) `  u
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  A
) )
182177, 181syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( ( inv g `  S ) `  u
)  e.  U  <->  ( (
( inv g `  S ) `  u
)  e.  B  /\  ( `' ( ( inv g `  S ) `
 u ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  A ) ) )
183146, 176, 182mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  (
( inv g `  S ) `  u
)  e.  U )
184141, 183jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  U )  ->  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( inv g `  S ) `  u
)  e.  U ) )
185184ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( inv g `  S ) `  u
)  e.  U ) )
18610, 36, 143issubg2 14636 . . 3  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( U  e.  (SubGrp `  S
)  <->  ( U  C_  B  /\  U  =/=  (/)  /\  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u ( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  (
( inv g `  S ) `  u
)  e.  U ) ) ) )
187142, 186syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  <->  ( U  C_  B  /\  U  =/=  (/)  /\  A. u  e.  U  ( A. v  e.  U  ( u
( +g  `  S ) v )  e.  U  /\  ( ( inv g `  S ) `  u
)  e.  U ) ) ) )
1884, 35, 185, 187mpbir3and 1135 1  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  mpllsslem  16180  mplsubg  16181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-psr 16098
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