Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubglem Unicode version

Theorem mplsubglem 16179
 Description: If is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set of finite bags (the primary applications being and for some ), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglem.s mPwSer
mplsubglem.b
mplsubglem.z
mplsubglem.d
mplsubglem.i
mplsubglem.0
mplsubglem.a
mplsubglem.y
mplsubglem.u
mplsubglem.r
Assertion
Ref Expression
mplsubglem SubGrp
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem mplsubglem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglem.u . . 3
2 ssrab2 3258 . . . 4
32a1i 10 . . 3
41, 3eqsstrd 3212 . 2
5 mplsubglem.s . . . . 5 mPwSer
6 mplsubglem.i . . . . 5
7 mplsubglem.r . . . . 5
8 mplsubglem.d . . . . 5
9 mplsubglem.z . . . . 5
10 mplsubglem.b . . . . 5
115, 6, 7, 8, 9, 10psr0cl 16139 . . . 4
12 eqid 2283 . . . . . . . . 9
1312, 9grpidcl 14510 . . . . . . . 8
14 fconst6g 5430 . . . . . . . 8
157, 13, 143syl 18 . . . . . . 7
16 eldifi 3298 . . . . . . . . 9
17 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11
189, 17eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10
1918fvconst2 5729 . . . . . . . . 9
2016, 19syl 15 . . . . . . . 8
2120adantl 452 . . . . . . 7
2215, 21suppss 5658 . . . . . 6
23 ss0 3485 . . . . . 6
2422, 23syl 15 . . . . 5
25 mplsubglem.0 . . . . 5
2624, 25eqeltrd 2357 . . . 4
271eleq2d 2350 . . . . 5
28 cnveq 4855 . . . . . . . 8
2928imaeq1d 5011 . . . . . . 7
3029eleq1d 2349 . . . . . 6
3130elrab 2923 . . . . 5
3227, 31syl6bb 252 . . . 4
3311, 26, 32mpbir2and 888 . . 3
34 ne0i 3461 . . 3
3533, 34syl 15 . 2
36 eqid 2283 . . . . . . 7
377ad2antrr 706 . . . . . . 7
381eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11
39 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . . . 14
4039imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . . . 13
4140eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12
4241elrab 2923 . . . . . . . . . . 11
4338, 42syl6bb 252 . . . . . . . . . 10
4443biimpa 470 . . . . . . . . 9
4544simpld 445 . . . . . . . 8
4645adantr 451 . . . . . . 7
471adantr 451 . . . . . . . . . . 11
4847eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10
49 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . . 13
5049imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . . 12
5150eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11
5251elrab 2923 . . . . . . . . . 10
5348, 52syl6bb 252 . . . . . . . . 9
5453biimpa 470 . . . . . . . 8
5554simpld 445 . . . . . . 7
565, 10, 36, 37, 46, 55psraddcl 16128 . . . . . 6
575, 12, 8, 10, 56psrelbas 16125 . . . . . . . . 9
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
595, 10, 58, 36, 46, 55psradd 16127 . . . . . . . . . . . 12
6059fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11
6160adantr 451 . . . . . . . . . 10
62 eldifi 3298 . . . . . . . . . . 11
635, 12, 8, 10, 45psrelbas 16125 . . . . . . . . . . . . . 14
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
65 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12
675, 12, 8, 10, 55psrelbas 16125 . . . . . . . . . . . . 13
68 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12
70 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170rabex 4165 . . . . . . . . . . . . . 14
728, 71eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
74 inidm 3378 . . . . . . . . . . . 12
75 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12
76 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12
7766, 69, 73, 73, 74, 75, 76ofval 6087 . . . . . . . . . . 11
7862, 77sylan2 460 . . . . . . . . . 10
79 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 sscon 3310 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
8281sseli 3176 . . . . . . . . . . . . 13
83 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
8563, 84suppssr 5659 . . . . . . . . . . . . . 14
8685adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
8782, 86sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12
88 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 sscon 3310 . . . . . . . . . . . . . . 15
9088, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
9190sseli 3176 . . . . . . . . . . . . 13
92 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
9467, 93suppssr 5659 . . . . . . . . . . . . 13
9591, 94sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12
9687, 95oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11
9712, 58, 9grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . 14
9813, 97mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13
9937, 98syl 15 . . . . . . . . . . . 12
10099adantr 451 . . . . . . . . . . 11
10196, 100eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10
10261, 78, 1013eqtrd 2319 . . . . . . . . 9
10357, 102suppss 5658 . . . . . . . 8
10444simprd 449 . . . . . . . . . 10
105104adantr 451 . . . . . . . . 9
10654simprd 449 . . . . . . . . 9
107 mplsubglem.a . . . . . . . . . . 11
108107ralrimivva 2635 . . . . . . . . . 10
109108ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
110 uneq1 3322 . . . . . . . . . . 11
111110eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10
112 uneq2 3323 . . . . . . . . . . 11
113112eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10
114111, 113rspc2va 2891 . . . . . . . . 9
115105, 106, 109, 114syl21anc 1181 . . . . . . . 8
116 ssexg 4160 . . . . . . . 8
117103, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . 7
118 mplsubglem.y . . . . . . . . . . . 12
119118expr 598 . . . . . . . . . . 11
120119alrimiv 1617 . . . . . . . . . 10
121120ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9
122121ad2antrr 706 . . . . . . . 8
123 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11
124123imbi1d 308 . . . . . . . . . 10
125124albidv 1611 . . . . . . . . 9
126125rspcv 2880 . . . . . . . 8
127115, 122, 126sylc 56 . . . . . . 7
128 sseq1 3199 . . . . . . . . 9
129 eleq1 2343 . . . . . . . . 9
130128, 129imbi12d 311 . . . . . . . 8
131130spcgv 2868 . . . . . . 7
132117, 127, 103, 131syl3c 57 . . . . . 6
1331ad2antrr 706 . . . . . . . 8
134133eleq2d 2350 . . . . . . 7
135 cnveq 4855 . . . . . . . . . 10
136135imaeq1d 5011 . . . . . . . . 9
137136eleq1d 2349 . . . . . . . 8
138137elrab 2923 . . . . . . 7
139134, 138syl6bb 252 . . . . . 6
14056, 132, 139mpbir2and 888 . . . . 5
141140ralrimiva 2626 . . . 4
1425, 6, 7psrgrp 16143 . . . . . . 7
143 eqid 2283 . . . . . . . 8
14410, 143grpinvcl 14527 . . . . . . 7
145142, 144sylan 457 . . . . . 6
14645, 145syldan 456 . . . . 5
1475, 12, 8, 10, 146psrelbas 16125 . . . . . . . 8
1486adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
1497adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
150 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
1515, 148, 149, 8, 150, 10, 143, 45psrneg 16145 . . . . . . . . . . 11
152151adantr 451 . . . . . . . . . 10
153152fveq1d 5527 . . . . . . . . 9
154 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10
155 fvco3 5596 . . . . . . . . . 10
15663, 154, 155syl2an 463 . . . . . . . . 9
15785fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10
1589, 150grpinvid 14533 . . . . . . . . . . . 12
159149, 158syl 15 . . . . . . . . . . 11
160159adantr 451 . . . . . . . . . 10
161157, 160eqtrd 2315 . . . . . . . . 9
162153, 156, 1613eqtrd 2319 . . . . . . . 8
163147, 162suppss 5658 . . . . . . 7
164 ssexg 4160 . . . . . . 7
165163, 104, 164syl2anc 642 . . . . . 6
166121adantr 451 . . . . . . 7
167 sseq2 3200 . . . . . . . . . 10
168167imbi1d 308 . . . . . . . . 9
169168albidv 1611 . . . . . . . 8
170169rspcv 2880 . . . . . . 7
171104, 166, 170sylc 56 . . . . . 6
172 sseq1 3199 . . . . . . . 8
173 eleq1 2343 . . . . . . . 8
174172, 173imbi12d 311 . . . . . . 7
175174spcgv 2868 . . . . . 6
176165, 171, 163, 175syl3c 57 . . . . 5
17747eleq2d 2350 . . . . . 6
178 cnveq 4855 . . . . . . . . 9
179178imaeq1d 5011 . . . . . . . 8
180179eleq1d 2349 . . . . . . 7
181180elrab 2923 . . . . . 6
182177, 181syl6bb 252 . . . . 5
183146, 176, 182mpbir2and 888 . . . 4
184141, 183jca 518 . . 3
185184ralrimiva 2626 . 2
18610, 36, 143issubg2 14636 . . 3 SubGrp
187142, 186syl 15 . 2 SubGrp
1884, 35, 185, 187mpbir3and 1135 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1527   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  crab 2547  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   wss 3152  c0 3455  csn 3640   cxp 4687  ccnv 4688  cima 4692   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076   cmap 6772  cfn 6863  cn 9746  cn0 9965  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400  cgrp 14362  cminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   mPwSer cmps 16087 This theorem is referenced by:  mpllsslem  16180  mplsubg  16181 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-psr 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator