MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrg Unicode version

Theorem mplsubrg 16200
Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mplsubrg  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubRing `  S
) )

Proof of Theorem mplsubrg
Dummy variables  f 
k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mplsubg.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mplsubg.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
4 mplsubg.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mpllss.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6 rnggrp 15362 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
81, 2, 3, 4, 7mplsubg 16197 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  S ) )
91, 4, 5psrrng 16171 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
1210, 11rngidcl 15377 . . . 4  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
139, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S ) )
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
15 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
16 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
171, 4, 5, 14, 15, 16, 11psr1 16172 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
1817cnveqd 4873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( 1r `  S )  =  `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( k  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
1918imaeq1d 5027 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( 1r
`  S ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
20 snfi 6957 . . . . 5  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
21 eldifsni 3763 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  k  =/=  ( I  X.  {
0 } ) )
2221adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  k  =/=  ( I  X.  { 0 } ) )
23 ifnefalse 3586 . . . . . . 7  |-  ( k  =/=  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
2422, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if (
k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
2524suppss2 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { (
I  X.  { 0 } ) } )
26 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) 
C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
( `' ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
2720, 25, 26sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( k  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
2819, 27eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( 1r
`  S ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
292, 1, 10, 15, 3mplelbas 16191 . . 3  |-  ( ( 1r `  S )  e.  U  <->  ( ( 1r `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' ( 1r `  S )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
)
3013, 28, 29sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  U )
314adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  I  e.  W )
325adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  R  e.  Ring )
33 eqid 2296 . . . 4  |-  (  o F  +  " (
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  X.  ( `' y
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  =  (  o F  +  " ( ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  X.  ( `' y
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )
34 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
35 simprl 732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  x  e.  U )
36 simprr 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  U )
371, 2, 3, 31, 32, 14, 15, 33, 34, 35, 36mplsubrglem 16199 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( x ( .r
`  S ) y )  e.  U )
3837ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( x ( .r
`  S ) y )  e.  U )
39 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4010, 11, 39issubrg2 15581 . . 3  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( U  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  U  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( .r `  S ) y )  e.  U ) ) )
419, 40syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  (SubRing `  S )  <->  ( U  e.  (SubGrp `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  U  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  (
x ( .r `  S ) y )  e.  U ) ) )
428, 30, 38, 41mpbir3and 1135 1  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubRing `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753    + caddc 8756   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631   Ringcrg 15353   1rcur 15355  SubRingcsubrg 15557   mPwSer cmps 16103   mPoly cmpl 16105
This theorem is referenced by:  mpl1  16204  mplrng  16212  mplcrng  16213  mplassa  16214  subrgmpl  16220  mplbas2  16228  subrgasclcl  16256  mplind  16259  ply1subrg  16292  evlseu  19416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-psr 16114  df-mpl 16116
  Copyright terms: Public domain W3C validator