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Theorem mplsubrglem 16183
Description: Lemma for mplsubrg 16184. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglem.p  |-  A  =  (  o F  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
mplsubrglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables  g 
k  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 16177 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3178 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglem.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3178 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 16133 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 mplsubrglem.p . . . . 5  |-  A  =  (  o F  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
14 df-ima 4702 . . . . 5  |-  (  o F  +  " (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ran  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
1513, 14eqtri 2303 . . . 4  |-  A  =  ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
16 mplsubrglem.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
175, 1, 2, 16, 6mplelbas 16175 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
1817simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
198, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
205, 1, 2, 16, 6mplelbas 16175 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
2120simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2210, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
23 xpfi 7128 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
25 ofmres 6116 . . . . . . 7  |-  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( f  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ,  g  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( f  o F  +  g ) )
26 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( f  o F  +  g )  e.  _V
2725, 26fnmpt2i 6193 . . . . . 6  |-  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 dffn4 5457 . . . . . 6  |-  ( (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
2927, 28mpbi 199 . . . . 5  |-  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
30 fofi 7142 . . . . 5  |-  ( ( ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin  /\  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  ran  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  e.  Fin )
3124, 29, 30sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  e.  Fin )
3215, 31syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
34 mplsubrglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
351, 33, 34, 2, 12psrelbas 16125 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
36 mplsubrglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
379adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
3811adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
39 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4039adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
411, 2, 36, 3, 34, 37, 38, 40psrmulval 16131 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
424ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
435, 33, 6, 34, 10mplelf 16178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
45 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
46 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
4840adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
5134, 50psrbagconcl 16119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
5247, 48, 49, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
5345, 52sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5544, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5633, 36, 16rnglz 15377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  =  .0.  )
5742, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  )
58 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
5958eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
6057, 59syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
615, 33, 6, 34, 8mplelf 16178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6345, 49sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
64 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
6562, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
6633, 36, 16rngrz 15378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6742, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
68 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
6968eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
7067, 69syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
7134psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7247, 63, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
73 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x : I --> NN0  /\  n  e.  I )  ->  ( x `  n
)  e.  NN0 )
7472, 73sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7534psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
7647, 48, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
77 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> NN0  /\  n  e.  I )  ->  ( k `  n
)  e.  NN0 )
7876, 77sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
79 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
80 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
81 pncan3 9059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
8279, 80, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
8374, 78, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8483mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
85 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
8772feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
8876feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
8947, 78, 74, 88, 87offval2 6095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
9047, 74, 86, 87, 89offval2 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
9184, 90, 883eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  =  k )
92 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
9391, 92eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
94 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( D  \  A )  ->  -.  ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  -.  ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
96 ovres 5987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  =  ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) ) )
97 fnovrn 5995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  e.  ran  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
9897, 15syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
9927, 98mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
10096, 99eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
10195, 100nsyl 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
102 ianor 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  \/  -.  ( k  o F  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
103101, 102sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
104 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <-> 
( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
105104baib 871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
10663, 105syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
107 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
108107a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
10962, 108suppssr 5659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
110109ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
111106, 110sylbird 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
112 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( (
k  o F  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
113112baib 871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  o F  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
11453, 113syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
115 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
11744, 116suppssr 5659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  ( k  o F  -  x
)  e.  ( D 
\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  )
118117ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  ) )
119114, 118sylbird 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( -.  ( k  o F  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  =  .0.  ) )
120111, 119orim12d 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( X `
 x )  =  .0.  \/  ( Y `
 ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  )
) )
121103, 120mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  ) )
12260, 70, 121mpjaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  )
123122mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )
124123oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1254adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
126 rngmnd 15350 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
127125, 126syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
12834psrbaglefi 16118 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
12946, 39, 128syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
13016gsumz 14458 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
131127, 129, 130syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
13241, 124, 1313eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
13335, 132suppss 5658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
134 ssfi 7083 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  A
)  ->  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
13532, 133, 134syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
1365, 1, 2, 16, 6mplelbas 16175 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
13712, 135, 136sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361   Ringcrg 15337   mPwSer cmps 16087   mPoly cmpl 16089
This theorem is referenced by:  mplsubrg  16184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-psr 16098  df-mpl 16100
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