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Theorem mplsubrglem 16199
Description: Lemma for mplsubrg 16200. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplsubrglem.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplsubrglem.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplsubrglem.p  |-  A  =  (  o F  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
mplsubrglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplsubrglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
mplsubrglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    S, f    f, X   
f, Y    .0. , f
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    D( f)    P( f)    .x. ( f)    U( f)    W( f)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables  g 
k  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
4 mpllss.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mplsubg.p . . . . 5  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplsubg.u . . . . 5  |-  U  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 2mplbasss 16193 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  S )
8 mplsubrglem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
97, 8sseldi 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  S ) )
10 mplsubrglem.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
117, 10sseldi 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  S ) )
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 16149 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  ( Base `  S ) )
13 mplsubrglem.p . . . . 5  |-  A  =  (  o F  +  " ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
14 df-ima 4718 . . . . 5  |-  (  o F  +  " (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ran  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
1513, 14eqtri 2316 . . . 4  |-  A  =  ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
16 mplsubrglem.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
175, 1, 2, 16, 6mplelbas 16191 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
1817simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  U  ->  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
198, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
205, 1, 2, 16, 6mplelbas 16191 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  U  <->  ( Y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
2120simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  U  ->  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2210, 21syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
23 xpfi 7144 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2419, 22, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
25 ofmres 6132 . . . . . . 7  |-  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( f  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ,  g  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( f  o F  +  g ) )
26 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( f  o F  +  g )  e.  _V
2725, 26fnmpt2i 6209 . . . . . 6  |-  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 dffn4 5473 . . . . . 6  |-  ( (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
2927, 28mpbi 199 . . . . 5  |-  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
30 fofi 7158 . . . . 5  |-  ( ( ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin  /\  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) : ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) -onto-> ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  ->  ran  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  e.  Fin )
3124, 29, 30sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  e.  Fin )
3215, 31syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
33 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
34 mplsubrglem.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
351, 33, 34, 2, 12psrelbas 16141 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y ) : D --> ( Base `  R ) )
36 mplsubrglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
379adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  X  e.  ( Base `  S )
)
3811adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  Y  e.  ( Base `  S )
)
39 eldifi 3311 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \  A )  ->  k  e.  D )
4039adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  k  e.  D )
411, 2, 36, 3, 34, 37, 38, 40psrmulval 16147 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
424ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
435, 33, 6, 34, 10mplelf 16194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
45 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
46 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
4840adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
5134, 50psrbagconcl 16135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
5247, 48, 49, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
5345, 52sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
54 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5544, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5633, 36, 16rnglz 15393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  .x.  ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) )  =  .0.  )
5742, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
(  .0.  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  )
58 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) )  =  (  .0. 
.x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
5958eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  x )  =  .0.  ->  (
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  <->  (  .0.  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
6057, 59syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  ) )
615, 33, 6, 34, 8mplelf 16194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
6345, 49sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
64 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
6562, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
6633, 36, 16rngrz 15394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6742, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
68 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x )  .x.  .0.  ) )
6968eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  =  .0. 
->  ( ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  <->  ( ( X `
 x )  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
7067, 69syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  ->  (
( X `  x
)  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) )  =  .0.  )
)
7134psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7247, 63, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
73 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x : I --> NN0  /\  n  e.  I )  ->  ( x `  n
)  e.  NN0 )
7472, 73sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
7534psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
7647, 48, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
77 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> NN0  /\  n  e.  I )  ->  ( k `  n
)  e.  NN0 )
7876, 77sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
k `  n )  e.  NN0 )
79 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
80 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  n )  e.  NN0  ->  ( k `
 n )  e.  CC )
81 pncan3 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  CC  /\  ( k `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 n )  +  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) )  =  ( k `  n ) )
8279, 80, 81syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x `  n
)  e.  NN0  /\  ( k `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
8374, 78, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  +  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) ) )  =  ( k `  n ) )
8483mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( k `  n ) ) )
85 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k `  n )  -  ( x `  n ) )  e. 
_V
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  n  e.  I )  ->  (
( k `  n
)  -  ( x `
 n ) )  e.  _V )
8772feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  =  ( n  e.  I  |->  ( x `
 n ) ) )
8876feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( n  e.  I  |->  ( k `
 n ) ) )
8947, 78, 74, 88, 87offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( k `  n )  -  (
x `  n )
) ) )
9047, 74, 86, 87, 89offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( x `  n )  +  ( ( k `
 n )  -  ( x `  n
) ) ) ) )
9184, 90, 883eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  =  k )
92 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  ( D 
\  A ) )
9391, 92eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( D 
\  A ) )
94 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( D  \  A )  ->  -.  ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  -.  ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
96 ovres 6003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  =  ( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) ) )
97 fnovrn 6011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  e.  ran  (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
9897, 15syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  o F  +  |`  ( ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  Fn  ( ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
9927, 98mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x (  o F  +  |`  (
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
10096, 99eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( x  o F  +  ( k  o F  -  x ) )  e.  A )
10195, 100nsyl 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
102 ianor 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) )  \/  -.  ( k  o F  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
103101, 102sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
104 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( D  \ 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <-> 
( x  e.  D  /\  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
105104baib 871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( D 
\  ( `' X " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
10663, 105syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
107 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
108107a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
10962, 108suppssr 5675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( X `  x )  =  .0.  )
110109ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  e.  ( D  \  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
111106, 110sylbird 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X `  x
)  =  .0.  )
)
112 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( (
k  o F  -  x )  e.  D  /\  -.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
113112baib 871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  o F  -  x )  e.  D  ->  ( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
11453, 113syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  -.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
115 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
11744, 116suppssr 5675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  ( k  o F  -  x
)  e.  ( D 
\  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  )
118117ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  x )  e.  ( D  \ 
( `' Y "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  ) )
119114, 118sylbird 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( -.  ( k  o F  -  x
)  e.  ( `' Y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  =  .0.  ) )
120111, 119orim12d 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( -.  x  e.  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  \/ 
-.  ( k  o F  -  x )  e.  ( `' Y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( X `
 x )  =  .0.  \/  ( Y `
 ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  )
) )
121103, 120mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  =  .0. 
\/  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  .0.  ) )
12260, 70, 121mpjaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( D  \  A
) )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  .0.  )
123122mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) 
.x.  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )
124123oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x )  .x.  ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )
)
1254adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Ring )
126 rngmnd 15366 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
127125, 126syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  R  e.  Mnd )
12834psrbaglefi 16134 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
12946, 39, 128syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
13016gsumz 14474 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
131127, 129, 130syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
13241, 124, 1313eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  A ) )  ->  ( ( X ( .r `  S ) Y ) `
 k )  =  .0.  )
13335, 132suppss 5674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
134 ssfi 7099 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  A
)  ->  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
13532, 133, 134syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( X ( .r `  S
) Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
1365, 1, 2, 16, 6mplelbas 16191 . 2  |-  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  U  <->  ( ( X ( .r `  S ) Y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' ( X ( .r `  S ) Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin ) )
13712, 135, 136sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  S ) Y )  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   CCcc 8751    + caddc 8756    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377   Ringcrg 15353   mPwSer cmps 16103   mPoly cmpl 16105
This theorem is referenced by:  mplsubrg  16200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-psr 16114  df-mpl 16116
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