Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglem Structured version   Unicode version

Theorem mplsubrglem 16502
 Description: Lemma for mplsubrg 16503. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s mPwSer
mplsubg.p mPoly
mplsubg.u
mplsubg.i
mpllss.r
mplsubrglem.d
mplsubrglem.z
mplsubrglem.p
mplsubrglem.t
mplsubrglem.x
mplsubrglem.y
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 mPwSer
2 eqid 2436 . . 3
3 eqid 2436 . . 3
4 mpllss.r . . 3
5 mplsubg.p . . . . 5 mPoly
6 mplsubg.u . . . . 5
75, 1, 6, 2mplbasss 16496 . . . 4
8 mplsubrglem.x . . . 4
97, 8sseldi 3346 . . 3
10 mplsubrglem.y . . . 4
117, 10sseldi 3346 . . 3
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 16452 . 2
13 mplsubrglem.p . . . . 5
14 df-ima 4891 . . . . 5
1513, 14eqtri 2456 . . . 4
16 mplsubrglem.z . . . . . . . . 9
175, 1, 2, 16, 6mplelbas 16494 . . . . . . . 8
1817simprbi 451 . . . . . . 7
198, 18syl 16 . . . . . 6
205, 1, 2, 16, 6mplelbas 16494 . . . . . . . 8
2120simprbi 451 . . . . . . 7
2210, 21syl 16 . . . . . 6
23 xpfi 7378 . . . . . 6
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . 5
25 ofmres 6343 . . . . . . 7
26 ovex 6106 . . . . . . 7
2725, 26fnmpt2i 6420 . . . . . 6
28 dffn4 5659 . . . . . 6
2927, 28mpbi 200 . . . . 5
30 fofi 7392 . . . . 5
3124, 29, 30sylancl 644 . . . 4
3215, 31syl5eqel 2520 . . 3
33 eqid 2436 . . . . 5
34 mplsubrglem.d . . . . 5
351, 33, 34, 2, 12psrelbas 16444 . . . 4
36 mplsubrglem.t . . . . . 6
379adantr 452 . . . . . 6
3811adantr 452 . . . . . 6
39 eldifi 3469 . . . . . . 7
4039adantl 453 . . . . . 6
411, 2, 36, 3, 34, 37, 38, 40psrmulval 16450 . . . . 5 g
424ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
435, 33, 6, 34, 10mplelf 16497 . . . . . . . . . . . 12
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
45 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . 12
46 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
4840adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
49 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
50 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
5134, 50psrbagconcl 16438 . . . . . . . . . . . . 13
5247, 48, 49, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
5345, 52sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11
5444, 53ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10
5533, 36, 16rnglz 15700 . . . . . . . . . 10
5642, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9
57 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10
5857eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9
5956, 58syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8
605, 33, 6, 34, 8mplelf 16497 . . . . . . . . . . . 12
6160ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
6245, 49sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11
6361, 62ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10
6433, 36, 16rngrz 15701 . . . . . . . . . 10
6542, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . . . 9
66 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10
6766eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9
6865, 67syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8
6934psrbagf 16432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7047, 62, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7234psrbagf 16432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7347, 48, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 nn0cn 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 nn0cn 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
77 pncan3 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7875, 76, 77syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7971, 74, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . . . . . 14
81 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
8370feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . . . . 15
8473feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8547, 74, 71, 84, 83offval2 6322 . . . . . . . . . . . . . . 15
8647, 71, 82, 83, 85offval2 6322 . . . . . . . . . . . . . 14
8780, 86, 843eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13
88 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13
8987, 88eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12
9089eldifbd 3333 . . . . . . . . . . 11
91 ovres 6213 . . . . . . . . . . . 12
92 fnovrn 6221 . . . . . . . . . . . . . 14
9392, 15syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . . 13
9427, 93mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12
9591, 94eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . 11
9690, 95nsyl 115 . . . . . . . . . 10
97 ianor 475 . . . . . . . . . 10
9896, 97sylib 189 . . . . . . . . 9
99 eldif 3330 . . . . . . . . . . . . 13
10099baib 872 . . . . . . . . . . . 12
10162, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11
102 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . . 14
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
10461, 103suppssr 5864 . . . . . . . . . . . 12
105104ex 424 . . . . . . . . . . 11
106101, 105sylbird 227 . . . . . . . . . 10
107 eldif 3330 . . . . . . . . . . . . 13
108107baib 872 . . . . . . . . . . . 12
10953, 108syl 16 . . . . . . . . . . 11
110 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . . 14
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
11244, 111suppssr 5864 . . . . . . . . . . . 12
113112ex 424 . . . . . . . . . . 11
114109, 113sylbird 227 . . . . . . . . . 10
115106, 114orim12d 812 . . . . . . . . 9
11698, 115mpd 15 . . . . . . . 8
11759, 68, 116mpjaod 371 . . . . . . 7
118117mpteq2dva 4295 . . . . . 6
119118oveq2d 6097 . . . . 5 g g
1204adantr 452 . . . . . . 7
121 rngmnd 15673 . . . . . . 7
122120, 121syl 16 . . . . . 6
12334psrbaglefi 16437 . . . . . . 7
12446, 39, 123syl2an 464 . . . . . 6
12516gsumz 14781 . . . . . 6 g
126122, 124, 125syl2anc 643 . . . . 5 g
12741, 119, 1263eqtrd 2472 . . . 4
12835, 127suppss 5863 . . 3
129 ssfi 7329 . . 3
13032, 128, 129syl2anc 643 . 2
1315, 1, 2, 16, 6mplelbas 16494 . 2
13212, 130, 131sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879   cres 4880  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303   cofr 6304   cmap 7018  cfn 7109  cc 8988   caddc 8993   cle 9121   cmin 9291  cn 10000  cn0 10221  cbs 13469  cmulr 13530  c0g 13723   g cgsu 13724  cmnd 14684  crg 15660   mPwSer cmps 16406   mPoly cmpl 16408 This theorem is referenced by:  mplsubrg  16503 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-psr 16417  df-mpl 16419
 Copyright terms: Public domain W3C validator