Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplval Structured version   Unicode version

Theorem mplval 16493
 Description: Value of the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p mPoly
mplval.s mPwSer
mplval.b
mplval.z
mplval.u
Assertion
Ref Expression
mplval s
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem mplval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval.p . 2 mPoly
2 ovex 6107 . . . . . 6 mPwSer
32a1i 11 . . . . 5 mPwSer
4 id 21 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
5 oveq12 6091 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
64, 5sylan9eqr 2491 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
7 mplval.s . . . . . . 7 mPwSer
86, 7syl6eqr 2487 . . . . . 6 mPwSer
98fveq2d 5733 . . . . . . . . 9 mPwSer
10 mplval.b . . . . . . . . 9
119, 10syl6eqr 2487 . . . . . . . 8 mPwSer
12 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer
1312fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
14 mplval.z . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer
1615sneqd 3828 . . . . . . . . . . 11 mPwSer
1716difeq2d 3466 . . . . . . . . . 10 mPwSer
1817imaeq2d 5204 . . . . . . . . 9 mPwSer
1918eleq1d 2503 . . . . . . . 8 mPwSer
2011, 19rabeqbidv 2952 . . . . . . 7 mPwSer
21 mplval.u . . . . . . 7
2220, 21syl6eqr 2487 . . . . . 6 mPwSer
238, 22oveq12d 6100 . . . . 5 mPwSer s s
243, 23csbied 3294 . . . 4 mPwSer s s
25 df-mpl 16420 . . . 4 mPoly mPwSer s
26 ovex 6107 . . . 4 s
2724, 25, 26ovmpt2a 6205 . . 3 mPoly s
28 reldmmpl 16492 . . . . . 6 mPoly
2928ovprc 6109 . . . . 5 mPoly
30 ress0 13524 . . . . 5 s
3129, 30syl6eqr 2487 . . . 4 mPoly s
32 reldmpsr 16429 . . . . . . 7 mPwSer
3332ovprc 6109 . . . . . 6 mPwSer
347, 33syl5eq 2481 . . . . 5
3534oveq1d 6097 . . . 4 s s
3631, 35eqtr4d 2472 . . 3 mPoly s
3727, 36pm2.61i 159 . 2 mPoly s
381, 37eqtri 2457 1 s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2710  cvv 2957  csb 3252   cdif 3318  c0 3629  csn 3815  ccnv 4878  cima 4882  cfv 5455  (class class class)co 6082  cfn 7110  cbs 13470   ↾s cress 13471  c0g 13724   mPwSer cmps 16407   mPoly cmpl 16409 This theorem is referenced by:  mplbas  16494  mplval2  16496 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-slot 13474  df-base 13475  df-ress 13477  df-psr 16418  df-mpl 16420
 Copyright terms: Public domain W3C validator