MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplval2 Unicode version

Theorem mplval2 16422
Description: Self-referential expression for the set of multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval2.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplval2  |-  P  =  ( Ss  U )

Proof of Theorem mplval2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplval2.p . 2  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplval2.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 eqid 2387 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 eqid 2387 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 mplval2.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
61, 2, 3, 4, 5mplbas 16420 . 2  |-  U  =  { f  e.  (
Base `  S )  |  ( `' f
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin }
71, 2, 3, 4, 6mplval 16419 1  |-  P  =  ( Ss  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   ↾s cress 13397   0gc0g 13650   mPwSer cmps 16333   mPoly cmpl 16335
This theorem is referenced by:  mpl0  16431  mpladd  16432  mplmul  16433  mpl1  16434  mplsca  16435  mplvsca2  16436  mplgrp  16440  mpllmod  16441  mplrng  16442  mplcrng  16443  mplassa  16444  ressmpladd  16447  ressmplmul  16448  ressmplvsca  16449  subrgmpl  16450  mplbas2  16458  mplind  16489  mplplusg  16541  mplmulr  16542  evlseu  19804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-nn 9933  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-psr 16344  df-mpl 16346
  Copyright terms: Public domain W3C validator