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Theorem mpt22eqb 5953
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnov2 5951. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mpt22eqb  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem mpt22eqb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm13.183 2908 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  =  D  <->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
21ralimi 2618 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  ( C  =  D  <->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
3 ralbi 2679 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( C  =  D  <->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )  ->  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
54ralimi 2618 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
6 ralbi 2679 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
8 df-mpt2 5863 . . . 4  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
9 df-mpt2 5863 . . . 4  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) }
108, 9eqeq12i 2296 . . 3  |-  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) } )
11 eqoprab2b 5906 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) }  <->  A. x A. y A. z ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
12 pm5.32 617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
1312albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
14 19.21v 1831 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
1513, 14bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
16152albii 1554 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
17 r2al 2580 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
1816, 17bitr4i 243 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )
1910, 11, 183bitri 262 . 2  |-  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) )
207, 19syl6rbbr 255 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {coprab 5859    e. cmpt2 5860
This theorem is referenced by:  homfeq  13597  comfeq  13609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-oprab 5862  df-mpt2 5863
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