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Theorem mpt22eqb 6118
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnov2 6116. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
mpt22eqb  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem mpt22eqb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm13.183 3019 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  =  D  <->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
21ralimi 2724 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  ( C  =  D  <->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
3 ralbi 2785 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( C  =  D  <->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )  ->  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
54ralimi 2724 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
6 ralbi 2785 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. y  e.  B  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
8 df-mpt2 6025 . . . 4  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
9 df-mpt2 6025 . . . 4  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) }
108, 9eqeq12i 2400 . . 3  |-  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) } )
11 eqoprab2b 6071 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) }  <->  A. x A. y A. z ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
12 pm5.32 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
1312albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) ) )
14 19.21v 1902 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  =  C  <->  z  =  D ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
1513, 14bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) ) )
16152albii 1573 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
17 r2al 2686 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) ) )
1816, 17bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  D
) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z
( z  =  C  <-> 
z  =  D ) )
1910, 11, 183bitri 263 . 2  |-  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  <->  z  =  D ) )
207, 19syl6rbbr 256 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( ( x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  D )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  =  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   {coprab 6021    e. cmpt2 6022
This theorem is referenced by:  homfeq  13847  comfeq  13859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-oprab 6024  df-mpt2 6025
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