MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2ex Structured version   Unicode version

Theorem mpt2ex 6427
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2ex.1  |-  A  e. 
_V
mpt2ex.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mpt2ex  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem mpt2ex
StepHypRef Expression
1 mpt2ex.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 mpt2ex.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
32rgenw 2775 . 2  |-  A. x  e.  A  B  e.  _V
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
54mpt2exxg 6424 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
61, 3, 5mp2an 655 1  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    e. cmpt2 6085
This theorem is referenced by:  qexALT  10591  ruclem13  12843  vdwapfval  13341  prdsco  13692  imasvsca  13748  homffval  13919  comfffval  13926  comffval  13927  comfffn  13932  comfeq  13934  oppccofval  13944  monfval  13960  sectffval  13978  invffval  13985  cofu1st  14082  cofu2nd  14084  cofucl  14087  natfval  14145  fuccofval  14158  fucco  14161  coafval  14221  setcco  14240  catchomfval  14255  catccofval  14257  catcco  14258  fnxpc  14275  xpcval  14276  xpchomfval  14278  xpccofval  14281  xpcco  14282  1stf1  14291  1stf2  14292  2ndf1  14294  2ndf2  14295  1stfcl  14296  2ndfcl  14297  prf1  14299  prf2fval  14300  prfcl  14302  prf1st  14303  prf2nd  14304  evlf2  14317  evlf1  14319  evlfcl  14321  curf1fval  14323  curf11  14325  curf12  14326  curf1cl  14327  curf2  14328  curfcl  14331  hof1fval  14352  hof2fval  14354  hofcl  14358  yonedalem3  14379  joinfval  14446  meetfval  14453  grpsubfval  14849  mulgfval  14893  symgplusg  15101  lsmfval  15274  pj1fval  15328  dvrfval  15791  psrmulr  16450  psrvscafval  16456  isphtpy  19008  pcofval  19037  q1pval  20078  r1pval  20081  vsfval  22116  dipfval  22200  qqhval  24360  dya2iocuni  24635  sxbrsigalem5  24640  sitmval  24663  mamufval  27422  mendplusgfval  27472  mendmulrfval  27474  mendvscafval  27477  ldualfvs  29996  paddfval  30656  tgrpopr  31606  erngfplus  31661  erngfmul  31664  erngfplus-rN  31669  erngfmul-rN  31672  dvafvadd  31873  dvafvsca  31875  dvaabl  31884  dvhfvadd  31951  dvhfvsca  31960  djafvalN  31994  djhfval  32257  hlhilip  32811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352
  Copyright terms: Public domain W3C validator