MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2ex Unicode version

Theorem mpt2ex 6214
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2ex.1  |-  A  e. 
_V
mpt2ex.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mpt2ex  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem mpt2ex
StepHypRef Expression
1 mpt2ex.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 mpt2ex.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
32rgenw 2623 . 2  |-  A. x  e.  A  B  e.  _V
4 eqid 2296 . . 3  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
54mpt2exxg 6211 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
61, 3, 5mp2an 653 1  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt2 5876
This theorem is referenced by:  qexALT  10347  ruclem13  12536  vdwapfval  13034  prdsco  13383  imasvsca  13439  homffval  13610  comfffval  13617  comffval  13618  comfffn  13623  comfeq  13625  oppccofval  13635  monfval  13651  sectffval  13669  invffval  13676  cofu1st  13773  cofu2nd  13775  cofucl  13778  natfval  13836  fuccofval  13849  fucco  13852  coafval  13912  setcco  13931  catchomfval  13946  catccofval  13948  catcco  13949  fnxpc  13966  xpcval  13967  xpchomfval  13969  xpccofval  13972  xpcco  13973  1stf1  13982  1stf2  13983  2ndf1  13985  2ndf2  13986  1stfcl  13987  2ndfcl  13988  prf1  13990  prf2fval  13991  prfcl  13993  prf1st  13994  prf2nd  13995  evlf2  14008  evlf1  14010  evlfcl  14012  curf1fval  14014  curf11  14016  curf12  14017  curf1cl  14018  curf2  14019  curfcl  14022  hof1fval  14043  hof2fval  14045  hofcl  14049  yonedalem3  14070  joinfval  14137  meetfval  14144  grpsubfval  14540  mulgfval  14584  symgplusg  14792  lsmfval  14965  pj1fval  15019  dvrfval  15482  psrmulr  16145  psrvscafval  16151  isphtpy  18495  pcofval  18524  q1pval  19555  r1pval  19558  vsfval  21207  dipfval  21291  dya2iocrfn  23595  dya2iocct  23596  dya2iocrrnval  23597  isaddrv  25749  issubcv  25773  ismulcv  25784  isdivcv2  25796  ishoma  25890  isrocatset  26060  sgplpte21  26235  sgplpte22  26241  isray2  26256  isray  26257  mamufval  27546  mendplusgfval  27596  mendmulrfval  27598  mendvscafval  27601  ldualfvs  29948  paddfval  30608  tgrpopr  31558  erngfplus  31613  erngfmul  31616  erngfplus-rN  31621  erngfmul-rN  31624  dvafvadd  31825  dvafvsca  31827  dvaabl  31836  dvhfvadd  31903  dvhfvsca  31912  djafvalN  31946  djhfval  32209  hlhilip  32763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139
  Copyright terms: Public domain W3C validator