MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exg Unicode version

Theorem mpt2exg 6355
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exg  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B, x
Allowed substitution hints:    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exg
StepHypRef Expression
1 elex 2900 . . 3  |-  ( B  e.  S  ->  B  e.  _V )
2 elex 2900 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  _V )
32ralrimivw 2726 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( B  e.  S  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
5 mpt2exg.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
65mpt2exxg 6354 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
74, 6sylan2 461 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    e. cmpt2 6015
This theorem is referenced by:  mpt2exga  6356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282
  Copyright terms: Public domain W3C validator