MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exg Unicode version

Theorem mpt2exg 6212
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exg  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B, x
Allowed substitution hints:    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exg
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . 3  |-  ( B  e.  S  ->  B  e.  _V )
2 elex 2809 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  _V )
32ralrimivw 2640 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( B  e.  S  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
5 mpt2exg.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
65mpt2exxg 6211 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
74, 6sylan2 460 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt2 5876
This theorem is referenced by:  mpt2exga  6213  setchomfval  13927  setccofval  13930  oprabex2gpop  25139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139
  Copyright terms: Public domain W3C validator