MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exxg Structured version   Unicode version

Theorem mpt2exxg 6423
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exxg
StepHypRef Expression
1 mpt2exg.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21mpt2fun 6173 . 2  |-  Fun  F
31dmmpt2ssx 6417 . . 3  |-  dom  F  C_ 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
4 snex 4406 . . . . . 6  |-  { x }  e.  _V
5 xpexg 4990 . . . . . 6  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  B  e.  S
)  ->  ( {
x }  X.  B
)  e.  _V )
64, 5mpan 653 . . . . 5  |-  ( B  e.  S  ->  ( { x }  X.  B )  e.  _V )
76ralimi 2782 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  S  ->  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  e.  _V )
8 iunexg 5988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  B )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  e.  _V )
97, 8sylan2 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  e.  _V )
10 ssexg 4350 . . 3  |-  ( ( dom  F  C_  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  /\  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  e. 
_V )  ->  dom  F  e.  _V )
113, 9, 10sylancr 646 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  dom  F  e.  _V )
12 funex 5964 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  dom  F  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 646 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   {csn 3815   U_ciun 4094    X. cxp 4877   dom cdm 4879   Fun wfun 5449    e. cmpt2 6084
This theorem is referenced by:  mpt2exg  6424  mpt2ex  6426  taylfval  20276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351
  Copyright terms: Public domain W3C validator