Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Unicode version

Theorem mptctf 23262
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptctf  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 ctex 23250 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
2 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmpt 5205 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
4 df-rab 2586 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  B  e.  _V ) }
5 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  x  e.  A )
65ss2abi 3279 . . . . . . 7  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  { x  |  x  e.  A }
7 mptctf.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
87abid2f 2477 . . . . . . 7  |-  { x  |  x  e.  A }  =  A
96, 8sseqtri 3244 . . . . . 6  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  A
104, 9eqsstri 3242 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  A
113, 10eqsstri 3242 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
12 ssdomg 6950 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A ) )
131, 11, 12ee10 1367 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A )
14 domtr 6957 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1513, 14mpancom 650 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
16 funmpt 5327 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
17 funfn 5320 . . . 4  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 fnct 23255 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1917, 18sylanb 458 . . 3  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
2016, 19mpan 651 . 2  |-  ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
2115, 20syl 15 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701   {cab 2302   F/_wnfc 2439   {crab 2581   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   omcom 4693   dom cdm 4726   Fun wfun 5286    Fn wfn 5287    ~<_ cdom 6904
This theorem is referenced by:  abrexctf  23263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-ac2 8134
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-ac 7788
  Copyright terms: Public domain W3C validator