Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Structured version   Unicode version

Theorem mptctf 24114
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptctf  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 funmpt 5491 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 ctex 24102 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
43dmmpt 5367 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
5 df-rab 2716 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  B  e.  _V ) }
6 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  x  e.  A )
76ss2abi 3417 . . . . . . 7  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  { x  |  x  e.  A }
8 mptctf.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
98abid2f 2599 . . . . . . 7  |-  { x  |  x  e.  A }  =  A
107, 9sseqtri 3382 . . . . . 6  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  A
115, 10eqsstri 3380 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  A
124, 11eqsstri 3380 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
13 ssdomg 7155 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A ) )
142, 12, 13ee10 1386 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A )
15 domtr 7162 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1614, 15mpancom 652 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
17 funfn 5484 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 fnct 24107 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1917, 18sylanb 460 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
201, 16, 19sylancr 646 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   {cab 2424   F/_wnfc 2561   {crab 2711   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   omcom 4847   dom cdm 4880   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451    ~<_ cdom 7109
This theorem is referenced by:  abrexctf  24115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999
  Copyright terms: Public domain W3C validator