Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Unicode version

Theorem mptctf 23350
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptctf  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 ctex 23338 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
2 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmpt 5170 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  { x  e.  A  |  B  e.  _V }
4 df-rab 2554 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  =  {
x  |  ( x  e.  A  /\  B  e.  _V ) }
5 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  x  e.  A )
65ss2abi 3247 . . . . . . 7  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  { x  |  x  e.  A }
7 mptctf.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
87abid2f 2446 . . . . . . 7  |-  { x  |  x  e.  A }  =  A
96, 8sseqtri 3212 . . . . . 6  |-  { x  |  ( x  e.  A  /\  B  e. 
_V ) }  C_  A
104, 9eqsstri 3210 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  B  e.  _V }  C_  A
113, 10eqsstri 3210 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
12 ssdomg 6909 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A ) )
131, 11, 12ee10 1366 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A )
14 domtr 6916 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1513, 14mpancom 650 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
16 funmpt 5292 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
17 funfn 5285 . . . 4  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 fnct 23343 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  dom  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
1917, 18sylanb 458 . . 3  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
2016, 19mpan 651 . 2  |-  ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
2115, 20syl 15 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686   {cab 2271   F/_wnfc 2408   {crab 2549   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   omcom 4658   dom cdm 4691   Fun wfun 5251    Fn wfn 5252    ~<_ cdom 6863
This theorem is referenced by:  abrexctf  23351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-ac2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-ac 7745
  Copyright terms: Public domain W3C validator