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Theorem mptelixpg 6853
Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptelixpg  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem mptelixpg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
2 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ y K
3 nfcsb1v 3113 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ K
4 csbeq1a 3089 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  K  =  [_ y  /  x ]_ K )
52, 3, 4cbvixp 6833 . . . . 5  |-  X_ x  e.  I  K  =  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K
65eleq2i 2347 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K )
7 elixp2 6820 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ y  e.  I  [_ y  /  x ]_ K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) )
8 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  (
( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
) ) )
96, 7, 83bitri 262 . . 3  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) )
10 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  J )  =  ( x  e.  I  |->  J )
1110fnmpt 5370 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I )
1210fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
13 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  J  e.  K )
1412, 13eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  K )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)
1514ralimiaa 2617 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K )
1611, 15jca 518 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  ->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
17 dffn2 5390 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1810fmpt 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  <->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V )
1910fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  =  J )
2019eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  <->  J  e.  K
) )
2120biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  I  /\  J  e.  _V )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  J  e.  K ) )
2221ralimiaa 2617 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  A. x  e.  I  ( (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  J  e.  K )
)
23 ralim 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  J  e.  K )  ->  ( A. x  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  _V  ->  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2518, 24sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  J ) : I --> _V  ->  ( A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
2617, 25sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  -> 
( A. x  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `
 x )  e.  K  ->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
2726imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  ->  A. x  e.  I  J  e.  K )
2816, 27impbii 180 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K ) )
29 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
30 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  I  |->  J )
31 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
y
3230, 31nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )
3332, 3nfel 2427 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K
34 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y ) )
3534, 4eleq12d 2351 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3629, 33, 35cbvral 2760 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  x
)  e.  K  <->  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )
3736anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( ( x  e.  I  |->  J ) `  x )  e.  K
)  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
3828, 37bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  I  J  e.  K  <->  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )
39 mptexg 5745 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V )
4039biantrurd 494 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K )  <->  ( (
x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( ( x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( (
x  e.  I  |->  J ) `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ K ) ) ) )
4138, 40syl5rbb 249 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( x  e.  I  |->  J )  e. 
_V  /\  ( (
x  e.  I  |->  J )  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( ( x  e.  I  |->  J ) `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ K ) )  <->  A. x  e.  I  J  e.  K )
)
429, 41syl5bb 248 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
431, 42syl 15 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  J )  e.  X_ x  e.  I  K  <->  A. x  e.  I  J  e.  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817
This theorem is referenced by:  resixpfo  6854  ixpiunwdom  7305  dfac9  7762  prdsbasmpt  13369  prdsbasmpt2  13381  idfucl  13755  fuccocl  13838  fucidcl  13839  invfuc  13848  curf2cl  14005  yonedalem4c  14051  ptpjopn  17306  dfac14lem  17311  ptcnplem  17315  ptcnp  17316  ptcn  17321  ptcmplem2  17747  tmdgsum2  17779  upixp  26403  kelac1  27161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ixp 6818
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