MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptexg Unicode version

Theorem mptexg 5745
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 5290 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmptss 5169 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
4 ssexg 4160 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
53, 4mpan 651 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
6 funex 5743 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
71, 5, 6sylancr 644 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   Fun wfun 5249
This theorem is referenced by:  mptex  5746  abrexexg  5764  xpexgALT  6070  offval  6085  offval3  6091  iunon  6355  onoviun  6360  mptelixpg  6853  infxpenc2lem2  7647  coftr  7899  axcc3  8064  ramcl  13076  restval  13331  prdsplusgval  13372  prdsmulrval  13374  prdsvscaval  13378  resf1st  13768  resf2nd  13769  funcres  13770  galactghm  14783  sylow1lem4  14912  sylow3lem2  14939  sylow3lem3  14940  dpjfval  15290  mvrfval  16165  opsrval  16216  ntrfval  16761  clsfval  16762  neifval  16836  lpfval  16870  ptcnplem  17315  upxp  17317  xkocnv  17505  fmfnfmlem3  17651  fmfnfmlem4  17652  ptcmplem3  17748  prdsdsf  17931  ressprdsds  17935  prdsxmslem2  18075  itgulm2  19785  pserulm  19798  grpoinvfval  20891  ofcfval  23459  ofcfval3  23463  indv  23596  indval  23597  dstfrvclim1  23678  ptpcon  23764  vdgrfval  23889  ispr1  25156  isprj1  25163  cur1val  25198  islimrs  25580  valvze  25654  isntr  25873  islimcat  25876  isgraphmrph  25923  idcatfun  25941  idmor  25946  isconc2  26007  isconc3  26008  aishp  26172  tailfval  26321  upixp  26403  pw2f1ocnv  27130  kelac1  27161  frlmgsum  27232  uvcfval  27233  uvcval  27234  pmtrval  27394  pmtrrn  27399  pmtrfrn  27400  fmulcl  27711  fmuldfeqlem1  27712  stoweidlem31  27780  stoweidlem42  27791  stoweidlem48  27797  stoweidlem59  27808  bnj1366  28862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator