MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptexg Unicode version

Theorem mptexg 5924
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 5448 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmptss 5325 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
4 ssexg 4309 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
53, 4mpan 652 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
6 funex 5922 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
71, 5, 6sylancr 645 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   Fun wfun 5407
This theorem is referenced by:  mptex  5925  abrexexg  5943  xpexgALT  6256  offval  6271  offval3  6277  iunon  6559  onoviun  6564  mptelixpg  7058  infxpenc2lem2  7857  coftr  8109  axcc3  8274  seqof2  11336  ramcl  13352  restval  13609  prdsplusgval  13650  prdsmulrval  13652  prdsvscaval  13656  resf1st  14046  resf2nd  14047  funcres  14048  galactghm  15061  sylow1lem4  15190  sylow3lem2  15217  sylow3lem3  15218  dpjfval  15568  mvrfval  16439  opsrval  16490  ntrfval  17043  clsfval  17044  neifval  17118  lpfval  17157  ptcnplem  17606  upxp  17608  xkocnv  17799  fmfnfmlem3  17941  fmfnfmlem4  17942  ptcmplem3  18038  ustuqtoplem  18222  ustuqtop0  18223  utopsnneiplem  18230  prdsdsf  18350  ressprdsds  18354  prdsxmslem2  18512  itgulm2  20278  pserulm  20291  nbgraf1o0  21409  cusgrafilem3  21443  vdgrfval  21619  grpoinvfval  21765  indv  24363  indval  24364  ofcfval  24434  ofcfval3  24438  ptpcon  24873  tailfval  26291  upixp  26321  pw2f1ocnv  26998  kelac1  27029  frlmgsum  27100  uvcfval  27101  uvcval  27102  pmtrval  27262  pmtrrn  27267  pmtrfrn  27268  fmulcl  27578  fmuldfeqlem1  27579  stoweidlem31  27647  stoweidlem42  27658  stoweidlem48  27664  frgrancvvdeqlem9  28144  bnj1366  28907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421
  Copyright terms: Public domain W3C validator