MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptexg Structured version   Unicode version

Theorem mptexg 5968
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 5492 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmptss 5369 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
4 ssexg 4352 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
53, 4mpan 653 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
6 funex 5966 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
71, 5, 6sylancr 646 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    e. cmpt 4269   dom cdm 4881   Fun wfun 5451
This theorem is referenced by:  mptex  5969  abrexexg  5987  xpexgALT  6300  offval  6315  offval3  6321  iunon  6603  onoviun  6608  mptelixpg  7102  infxpenc2lem2  7906  coftr  8158  axcc3  8323  seqof2  11386  ramcl  13402  restval  13659  prdsplusgval  13700  prdsmulrval  13702  prdsvscaval  13706  resf1st  14096  resf2nd  14097  funcres  14098  galactghm  15111  sylow1lem4  15240  sylow3lem2  15267  sylow3lem3  15268  dpjfval  15618  mvrfval  16489  opsrval  16540  ntrfval  17093  clsfval  17094  neifval  17168  lpfval  17207  ptcnplem  17658  upxp  17660  xkocnv  17851  fmfnfmlem3  17993  fmfnfmlem4  17994  ptcmplem3  18090  ustuqtoplem  18274  ustuqtop0  18275  utopsnneiplem  18282  prdsdsf  18402  ressprdsds  18406  prdsxmslem2  18564  itgulm2  20330  pserulm  20343  nbgraf1o0  21461  cusgrafilem3  21495  vdgrfval  21671  grpoinvfval  21817  indv  24415  indval  24416  ofcfval  24486  ofcfval3  24490  ptpcon  24925  tailfval  26415  upixp  26445  pw2f1ocnv  27122  kelac1  27152  frlmgsum  27223  uvcfval  27224  uvcval  27225  pmtrval  27385  pmtrrn  27390  pmtrfrn  27391  fmulcl  27701  fmuldfeqlem1  27702  stoweidlem31  27770  stoweidlem42  27781  stoweidlem48  27787  ovmpt3rab1  28106  wlkiswwlk2  28379  frgrancvvdeqlem9  28504  bnj1366  29275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465
  Copyright terms: Public domain W3C validator