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Theorem mptfnf 24075
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfnf.0  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptfnf  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )

Proof of Theorem mptfnf
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eueq 3108 . . 3  |-  ( B  e.  _V  <->  E! y 
y  =  B )
21ralbii 2731 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  A. x  e.  A  E! y  y  =  B )
3 r19.26 2840 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  y  =  B  /\  E* y  y  =  B )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E* y  y  =  B ) )
4 eu5 2321 . . . 4  |-  ( E! y  y  =  B  <-> 
( E. y  y  =  B  /\  E* y  y  =  B
) )
54ralbii 2731 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E! y  y  =  B  <->  A. x  e.  A  ( E. y  y  =  B  /\  E* y 
y  =  B ) )
6 df-mpt 4270 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
76fneq1i 5541 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  Fn  A )
8 df-fn 5459 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  Fn  A 
<->  ( Fun  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  /\  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A )
)
97, 8bitri 242 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  ( Fun  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  /\  dom  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A ) )
10 moanimv 2341 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  y  =  B )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y 
y  =  B ) )
1110albii 1576 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  =  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y  y  =  B ) )
12 funopab 5488 . . . . . 6  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  =  B ) )
13 df-ral 2712 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y 
y  =  B ) )
1411, 12, 133bitr4ri 271 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  <->  Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) } )
15 eqcom 2440 . . . . . 6  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B
) }  =  A  <-> 
A  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) } )
16 dmopab 5082 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
17 19.42v 1929 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  =  B )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) )
1817abbii 2550 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }
1916, 18eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }
2019eqeq1i 2445 . . . . . 6  |-  ( dom 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A 
<->  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }  =  A )
21 pm4.71 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  E. y  y  =  B )  <->  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) ) )
2221albii 1576 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  E. y 
y  =  B )  <->  A. x ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) ) )
23 df-ral 2712 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E. y 
y  =  B ) )
24 mptfnf.0 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
2524abeq2f 23962 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }  <->  A. x
( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) ) )
2622, 23, 253bitr4i 270 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  A  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) } )
2715, 20, 263bitr4ri 271 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  dom 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A )
2814, 27anbi12i 680 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E. y  y  =  B )  <->  ( Fun  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  /\  dom  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A ) )
29 ancom 439 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E. y  y  =  B )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E* y  y  =  B ) )
309, 28, 293bitr2i 266 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E* y  y  =  B ) )
313, 5, 303bitr4ri 271 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y 
y  =  B )
322, 31bitr4i 245 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283   E*wmo 2284   {cab 2424   F/_wnfc 2561   A.wral 2707   _Vcvv 2958   {copab 4267    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451
This theorem is referenced by:  fnmptf  24076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-fun 5458  df-fn 5459
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