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Theorem mptfnf 23223
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfnf.0  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
mptfnf  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )

Proof of Theorem mptfnf
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eueq 2971 . . 3  |-  ( B  e.  _V  <->  E! y 
y  =  B )
21ralbii 2601 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  A. x  e.  A  E! y  y  =  B )
3 r19.26 2709 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  y  =  B  /\  E* y  y  =  B )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E* y  y  =  B ) )
4 eu5 2214 . . . 4  |-  ( E! y  y  =  B  <-> 
( E. y  y  =  B  /\  E* y  y  =  B
) )
54ralbii 2601 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E! y  y  =  B  <->  A. x  e.  A  ( E. y  y  =  B  /\  E* y 
y  =  B ) )
6 df-mpt 4116 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
76fneq1i 5375 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  Fn  A )
8 df-fn 5295 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  Fn  A 
<->  ( Fun  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  /\  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A )
)
97, 8bitri 240 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  ( Fun  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  /\  dom  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A ) )
10 moanimv 2234 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  y  =  B )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y 
y  =  B ) )
1110albii 1557 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  =  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y  y  =  B ) )
12 funopab 5324 . . . . . 6  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  =  B ) )
13 df-ral 2582 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y 
y  =  B ) )
1411, 12, 133bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  <->  Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) } )
15 eqcom 2318 . . . . . 6  |-  ( { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B
) }  =  A  <-> 
A  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) } )
16 dmopab 4926 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }
17 19.42v 1877 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  =  B )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) )
1817abbii 2428 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }
1916, 18eqtri 2336 . . . . . . 7  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }
2019eqeq1i 2323 . . . . . 6  |-  ( dom 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A 
<->  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }  =  A )
21 pm4.71 611 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  E. y  y  =  B )  <->  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) ) )
2221albii 1557 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  E. y 
y  =  B )  <->  A. x ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  =  B ) ) )
23 df-ral 2582 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E. y 
y  =  B ) )
24 mptfnf.0 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
2524abeq2f 23090 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) }  <->  A. x
( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) ) )
2622, 23, 253bitr4i 268 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  A  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y  y  =  B ) } )
2715, 20, 263bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  dom 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A )
2814, 27anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E. y  y  =  B )  <->  ( Fun  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  /\  dom  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  =  B ) }  =  A ) )
29 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E. y  y  =  B )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E* y  y  =  B ) )
309, 28, 293bitr2i 264 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  ( A. x  e.  A  E. y  y  =  B  /\  A. x  e.  A  E* y  y  =  B ) )
313, 5, 303bitr4ri 269 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y 
y  =  B )
322, 31bitr4i 243 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1531   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   E!weu 2176   E*wmo 2177   {cab 2302   F/_wnfc 2439   A.wral 2577   _Vcvv 2822   {copab 4113    e. cmpt 4114   dom cdm 4726   Fun wfun 5286    Fn wfn 5287
This theorem is referenced by:  fnmptf  23224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-fun 5294  df-fn 5295
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