MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpv Structured version   Unicode version

Theorem mpv 8889
Description: Value of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mpv  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  .Q  z ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem mpv
Dummy variables  f 
g  h  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 8862 . 2  |-  .P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  f  =  ( g  .Q  h ) } )
2 mulclnq 8825 . 2  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
31, 2genpv 8877 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  .Q  z ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423   E.wrex 2707  (class class class)co 6082    .Q cmq 8732   P.cnp 8735    .P. cmp 8738
This theorem is referenced by:  mulcompr  8901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-ni 8750  df-mi 8752  df-lti 8753  df-mpq 8787  df-enq 8789  df-nq 8790  df-erq 8791  df-mq 8793  df-1nq 8794  df-np 8859  df-mp 8862
  Copyright terms: Public domain W3C validator