MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpv Unicode version

Theorem mpv 8635
Description: Value of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mpv  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  .Q  z ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem mpv
Dummy variables  f 
g  h  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 8608 . 2  |-  .P.  =  ( u  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  u  E. h  e.  v  f  =  ( g  .Q  h ) } )
2 mulclnq 8571 . 2  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  .Q  h
)  e.  Q. )
31, 2genpv 8623 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  =  { x  |  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  .Q  z ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544  (class class class)co 5858    .Q cmq 8478   P.cnp 8481    .P. cmp 8484
This theorem is referenced by:  mulcompr  8647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-mi 8498  df-lti 8499  df-mpq 8533  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-np 8605  df-mp 8608
  Copyright terms: Public domain W3C validator